Linien-, Flächenintegrale < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 So 11.01.2009 | | Autor: | Woltan |
Liebes Forum,
ich habe eine Frage bezüglich von [mm] \oint [/mm] Kurven-, Linien oder auch Wegintegralen, vielleicht kannst du mir weiterhelfen. Was heisst es denn z.B. genau wenn da steht:
a: [mm] $\oint\limits_C {\bf A\cdot ds}$
[/mm]
Wie kann ich mir vorstellen, was genau da ausgerechnet wird. Ist das Ergebnis ein Vektor, ein Skalar? Stellt es die Länge der Kurve dar etc.?
Ferner was genau sind Flächenintegrale? Dabei mein ich die Verwendung von [mm] \oint\int, [/mm] wobei der Kreis im ersten Integral über beide Integrale gehen soll. Was kann ich mir unter folgenden vorstellen:
b: [mm] $\oint\int\limits_S p\,{\bf dS}$
[/mm]
c: [mm] $\oint\int\limits_S {\bf A\cdot dS}$
[/mm]
d: [mm] $\oint\int\limits_S {\bf A\times dS}$
[/mm]
Ich bin für jeden Tipp, Link oder jede Erklärung dankbar!
Bis dann
Dein Woltan
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Hallo!
[mm] \oint\vec{A}\,d\vec{s} [/mm] besagt zunächst wegen des Kreises, daß man entlang eines geschlossenen Pfades integriert, das heißt also, daß Start- und Endpunkt gleich sind.
Weiterhin ist [mm] \vec{A}\,d\vec{s} [/mm] ein Skalarprodukt, letztendlich ist das die Länge des Stücks [mm] d\vec{s} [/mm] multipliziert mit der parallel dazu liegenden Komponente von [mm] \vec{A}
[/mm]
Beispiel zu dem ganzen: Aus der Physik kennst du $E=F*s_$ , die Energie ist also Kraft mal Weg. Das gilt aber nur, solange die Kraft in die gleiche Richtung wie der Weg führt, das Verschieben eines Körpers auf einer reibungsfreien, horizontalen Ebene kostet unterm Strich keine Energie, es wird keine Arbeit gegen die Gravitation geleistet. Daher: [mm] $E=\vec F*\vec [/mm] s_$, dann hast du diesen Umstand direkt mit drin.
Wenn die Kraft entlang des Weges nicht konstant ist, muß man integrieren: [mm] $E=\int\vec F\,d\vec [/mm] s$
Vielleicht hast du schonmal von konservativen Feldern gehört, das heißt, daß die aufzuwendende Energie zur Bewegung in ihnen unabhängig von der Wahl des Weges ist. Insbesondere, wenn Start- und Endpunkt gleich sind, darf dabei die Energie insgesamt nicht verändert werden. Und das kann man so schreiben:
[mm] $\oint\vec F\,d\vec [/mm] s=0$
Bei der Version mit den zwei Integralen meint man die Integration über eine geschlossene Oberfläche, also eine Oberfläche, die ein Volumen vollständig einschließt. Beachte, daß hier so ein [mm] d\vec{n} [/mm] einen Vektor beschreibt, der senkrecht auf der Oberfläche steht, und dessen Länge ein Maß für die Fläche des betrachteten Flächenstücks ist. [mm] \vec{A}d\vec{n} [/mm] beschreibt hier also die Komponente von A, die SENKRECHT zur Fläche steht.
Eine Maxwellgleichung lautet [mm] \oint\oint\vec{E}\,d\vec{n}=q [/mm] (Müßte auchhier ein Doppelintegralzeichen sein...) besagt, daß man, wenn man den Fluß des E-Feldes durch eine geschlossene Oberfläche kennt, die im Inneren verborgende Ladung berechnen kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 11.01.2009 | | Autor: | Woltan |
#define [mm] \oint\oint [/mm] Doppelintegralzeichen
Hallo Event_Horizont,
vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort. Ich glaube das mit dem Kreisintegral habe ich verstanden. Man bekommt also für
[mm] \oint\limits_C \vec{A}\;d\vec{s} [/mm]
quasi den resultierenden Vektor raus, wenn man alle Vektoren auf der Kurve C aufsummiert. Gibt es auch eine Bedeutung für
[mm] \oint\limits_C \rho\;d\vec{s} [/mm] ?
Wäre das dann, die Aufsummierung der skalaren Werte des quasi eindimensionalen Vektorfeldes?
Zu den Flächenintegralen:
Bei der Maxwellgleichung ist das Ergebnis ja ein skalar.
[mm] $\oint\oint\vec{E}\,d\vec{n} [/mm] = q$
Wenn ich das richtig verstanden habe ist das aufgrund des Skalarproduktes. Warum ist jedoch das Ergebnis von
[mm] $\oint\oint\rho\,d\vec{n}$
[/mm]
kein skalar sondern ein Vektor?
Vielleicht können wir nach der Klärung dieser Fragen mal zu den Volumenintegralen ziehen, da hab ich auch noch einige Frage offen.
Also vielen Dank nochmal für die Antwort. Freu mich schon auf weitere, egal von wem^^
Cherio Woltan
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Hallo!
Dazu mußt du nur die Augenaufmachen: [mm] \vec{a}\vec{b} [/mm] ist ein Skalarprodukt, es kommt also ein Skalar heraus. [mm] a*\vec{b} [/mm] ist dagegen die Muiltiplikation von Skalar und Vektor, da kommt natürlich ein Vektor raus.
Also:
$ [mm] \oint\limits_C \vec{A}\;d\vec{s} \quad\in\IR$
[/mm]
> quasi den resultierenden Vektor raus, wenn man alle Vektoren auf der Kurve C aufsummiert. Gibt es auch eine Bedeutung für
Schau dir mein Beispiel mit der Energie an. Energie ist skalar, niemals vektoriell.
$ [mm] \oint\limits_C \rho\;d\vec{s} \quad\in \IR^n$
[/mm]
> Wäre das dann, die Aufsummierung der skalaren Werte des quasi eindimensionalen Vektorfeldes?
[mm] \rho [/mm] steht meistens für Dichte oder sowas in der Richtung, das ist ein Skalar bzw ein Skalarfeld. Wenn [mm] \rho [/mm] die Moleküldichte eines Gases ist, beschreibt dieses Integral sowas wie die Anzahl der Moleküle, die sich auf deinem Pfad befinden, multipliziert mit der Länge des Pfades.
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