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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Linienintegral
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Linienintegral: Vorgehen richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Di 29.08.2006
Autor: Herby

Aufgabe
Es sei: [mm] \vec{A}=(3x²+6y)*\vec{e}_x-14yz*\vec{e}_y+20xz²*\vec{e}_z [/mm]

bestimmen sie das Linienintegral [mm] \integral_{C}{\vec{A}*d\vec{r}} [/mm] von P(0|0|0) nach P(1|1|1) längs der Kurve C

a) [mm] C_1:(t,t²,t³) [/mm] mit [mm] 0\le t\le1 [/mm]

b) [mm] C_2: [/mm] Strecke von (0|0|0) bis (1|0|0), dann bis (1|1|0) und schließlich bis (1|1|1)

c) [mm] C_3: [/mm] Strecke von (0|0|0) bis (1|1|1)



Hallo,

da habe ich in der Vorlesung irgendwas verpasst, oder war grad nicht da oder so [macheurlaub]


Ich hab mal mit a) so angefangen:


mit [mm] C_1=\vec{r}=\vektor{t \\ t² \\ t³} [/mm]  und  [mm] \vec{A}=\vektor{3x²+6y \\ -14yz \\ 20xz²} [/mm]


bekomme ich [mm] \vec{A}_{neu1}=\vektor{3t²+6t² \\ -14t^5 \\ 20t^7}=\vektor{9t² \\ -14t^5 \\ 20t^7} [/mm]


dann ist [mm] (\vec{r})'=\vektor{1 \\ 2t \\ 3t²} [/mm]


aus [mm] \vec{A}_{neu1}*(\vec{r})' [/mm] wird [mm] \vec{A}_{neu2}=\vektor{9t² \\ 28t^6 \\ 60t^9} [/mm]

nun das Integral:

[mm] \integral_{P1}^{P2}{9t²-28t^6+60t^9 dt}=...... [/mm]

das sieht mir irgendwie nicht so ganz richtig aus, zumal ich ja nun die beiden Punkte mit den drei Koordinaten einsetzen muss - wie geht denn das [verwirrt]

oder ist die Vorgehensweise insgesamt schon daneben?


Liebe Grüße
Herby
        
Bezug
Linienintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Di 29.08.2006
Autor: EvenSteven


>
> Ich hab mal mit a) so angefangen:
>  
>
> mit [mm]C_1=\vec{r}=\vektor{t \\ t² \\ t³}[/mm]  und  
> [mm]\vec{A}=\vektor{3x²+6y \\ -14yz \\ 20xz²}[/mm]
>  
>
> bekomme ich [mm]\vec{A}_{neu1}=\vektor{3t²+6t² \\ -14t^5 \\ 20t^7}=\vektor{9t² \\ -14t^5 \\ 20t^7}[/mm]
>  
>
> dann ist [mm](\vec{r})'=\vektor{1 \\ 2t \\ 3t²}[/mm]
>  
>
> aus [mm]\vec{A}_{neu1}*(\vec{r})'[/mm] wird
> [mm]\vec{A}_{neu2}=\vektor{9t² \\ -28t^6 \\ 60t^9}[/mm]
>  

[ok] Bis hierhin prima :)

> nun das Integral:
>  
> [mm]\integral_{P1}^{P2}{9t²-28t^6+60t^9 dt}=......[/mm]
>  
> das sieht mir irgendwie nicht so ganz richtig aus, zumal
> ich ja nun die beiden Punkte mit den drei Koordinaten
> einsetzen muss - wie geht denn das [verwirrt]

Auch das gehört dazu: Sehen, dass etwas nicht stimmen kann ;)
Hier ist [mm]\vec{r}[/mm] eine Parameterisierung des Weges mit dem Parameter [mm]t[/mm] der von 0 bis 1 läuft. Das sind auch gerade die Grenzen des  Linienintegrals. Also:
[mm]\integral_{0}^{1}{9t²-28t^6+60t^9 dt}=......[/mm]
Das schaffst du, oder?

> oder ist die Vorgehensweise insgesamt schon daneben?
>  

Nein :)

> Liebe Grüße
>  Herby

Adios

EvenSteven
Bezug
                
Bezug
Linienintegral: hallo und ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mi 30.08.2006
Autor: Herby

herzlich [willkommenmr]


wenn ich mich nicht täusche, dann bist du seit fast einem Jahr hier Mitglied und seit ungefähr einem Monat aktiv tätig - hiermit ein nachträgliches "welcome" .......


.... und ein "merci" für deine Antwort. Ich hab bei der Aufgabe a) dann 5 raus - bei b) 23/3 und bei c) 13/3 und die c) ist falsch [grins]


Viel Spaß noch im Forum

Liebe Grüße
Herby
Bezug
                        
Bezug
Linienintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Mi 30.08.2006
Autor: EvenSteven


>
> wenn ich mich nicht täusche, dann bist du seit fast einem
> Jahr hier Mitglied und seit ungefähr einem Monat aktiv
> tätig - hiermit ein nachträgliches "welcome" .......

Jo hatte weniger Zeit :)

>
> .... und ein "merci" für deine Antwort. Ich hab bei der
> Aufgabe a) dann 5 raus - bei b) 23/3 und bei c) 13/3 und
> die c) ist falsch [grins]

a) ist richtig b) und c) rechne ich gleich noch aus.
EDIT Ich kriege die selben Resultate - auch bei c. Das stimmt schon.


Grüsse

EvenSteven
Bezug
                                
Bezug
Linienintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Mi 30.08.2006
Autor: Herby

Hi,

hast du [mm] x=y=z=\red{t} [/mm] gesetzt - nein - ich nämlich auch nicht und dann kommt was anderes raus.


lg
Herby
Bezug
                                        
Bezug
Linienintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 Mi 30.08.2006
Autor: EvenSteven

Hmm mal schauen:

Parametrisierung des Weges:
[mm] \gamma(t): [0,1] \to \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \dot \gamma(t) : \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] A(\gamma(t)) = \begin{pmatrix} 3*t^2 + 6*t \\ -14*t^2 \\ 20*t^3 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}{A(\gamma(t))*\dot \gamma(t) dt} = \integral_{0}^{1}{3*t^2 + 6*t - 14*t^2 + 20*t^3 dt} = 1 + 3 - \bruch{14}{3} + 5 = 9 - \bruch{14}{3} = \bruch{27 - 14}{3} = \bruch{13}{3} [/mm]

EvenSteven


Edit: Musste schnell weg, sorry.
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Bezug
Linienintegral: cool - verschrieben
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:37 Fr 01.09.2006
Autor: Herby

Hi,

na dann bin ich ja beruhigt - und lass das so, hatte mich wohl irgendwo verschrieben.

Danke schön


lg
Herby
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