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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Sa 26.12.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Definieren sie eine Funktion f derart, dass sich die folgenden Dgl in die Form y'(x)=f(x,y(x)) schreiben lassen und untersuchen Sie f auf Lipschitzstetigkeit in y.
a) x'' + 5x' + 2x = cos(t)
b) [mm] y_1' [/mm] = [mm] -y_1 [/mm] + [mm] \frac{1}{x}y_2
[/mm]
[mm] y_2' [/mm] = [mm] (1-x)y_1 [/mm] + [mm] y_2
[/mm]
x > 0 |
Hallo. Ich habe eine Frage zum zweiten Teil der Aufgabe.
Zunächst die Funktionen f:
a) f: [mm] \mathbb [/mm] R x [mm] \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, [/mm] (t,y) [mm] \mapsto [/mm] Ay+g(t) mit [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & -5 } [/mm] und [mm] g(t)=\pmat{ 0 \\ cos(t) }
[/mm]
b) f: [mm] \mathbb [/mm] R x [mm] \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, [/mm] (x,z) [mm] \mapsto [/mm] A(x)z mit [mm] A=\pmat{ -1 & \frac{1}{x} \\ 1-x & 1} [/mm] und [mm] z(x)=\pmat{ y_1(x) \\ y_2(x) }
[/mm]
Behaupte:
a) f ist global Lipschitzstetig, denn [mm] ||f(t,y_1)-f(t,y_2)||_1=||A(y_1-y_2)||_1 \le ||A||_{Op}||y_1-y_2||_1
[/mm]
b) ich weiß, dass die Funktion nicht global lipschitz-stetig ist. Aber warum kann ich hier die Abschätzung wie bei a) nicht anwenden?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 So 27.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Auf den ersten Blick sieht eigentlich alles recht gut aus.
Da würd ich dir zustimmen.
Was b) angeht...
Du kannst die Abschätzung zwar anwenden, aber der wäre sinnlos, denn:
[mm] \|A(x)\| [/mm] kann ja beliebig groß werden, je nachdem wie x gewählt ist. Aber es soll ja eine sogenannte lipschitzKONSTANTE geben. Für [mm] x\rightarrow0 [/mm] geht die Norm aber ins Unendliche.
Hoffe ich konnte deine Frage beantworten.
Schönen Gruß
Max
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