Lipschitz-stetigkeit prüfen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 11.11.2010 | | Autor: | gerani |
| Aufgabe | Man zeige (mit Angabe der Lipschitzkonstanten) oder wiederlege, dass
[mm] f(x,y)=\bruch{xy}{1+x^2+y^2}
[/mm]
wobei [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 4
Lipschitz-stetig ist. |
Hallo allerseits,
ich hab schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe herumprobiert aber ich komm leider auf kein Ergebnis. Ich würde intuitiv sagen, dass sie Lipschitz-stetig ist, das ist aber nur geraten. Ich hab ein paar Umformungen gemacht, und bin irgendwann auf
|f(x,y)-f(a,b)| [mm] \le [/mm] 5|xy-ab|
gekommen. Das sieht schon ganz nett aus, aber ich komm nicht weiter.
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße,
gerani :)
PS: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: (aber leider keine Antwort gekriegt)
http://www.matheplanet.com/
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige (mit Angabe der Lipschitzkonstanten) oder
> wiederlege, dass
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{xy}{1+x^2+y^2}[/mm]
> wobei [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 4
> Lipschitz-stetig ist.
> Hallo allerseits,
>
> ich hab schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe
> herumprobiert aber ich komm leider auf kein Ergebnis. Ich
> würde intuitiv sagen, dass sie Lipschitz-stetig ist, das
> ist aber nur geraten. Ich hab ein paar Umformungen gemacht,
> und bin irgendwann auf
>
> |f(x,y)-f(a,b)| [mm]\le[/mm] 5|xy-ab|
Das bringt Dir doch nichts !
Du sollst entscheiden, ob es ein L [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
$|f(x,y)-f(a,b)| [mm] \le [/mm] L* ||(x,y)-(a,b)||$ für alle (x,y) und (a,b) mit $ [mm] x^2+y^2 \le [/mm] $ 4 , $ [mm] a^2+b^2 \le [/mm] $ 4
FRED
>
> gekommen. Das sieht schon ganz nett aus, aber ich komm
> nicht weiter.
>
> Hat jemand eine Idee?
>
> Viele Grüße,
>
> gerani :)
>
> PS: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf
> anderen Internetseiten gestellt: (aber leider keine Antwort
> gekriegt)
>
> http://www.matheplanet.com/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Fr 12.11.2010 | | Autor: | gerani |
Hi Fred,
Die Definition von Lipschitzstetigkeit kann ich mittlerweile sehr gut, danke :)
ich kam dann doch damit weiter, dank eines Tipps in einem anderen Forum. Man muss einfach die Null addieren:
5|xy-ab| = 5|xy-ay+ay-ab| [mm] \le [/mm] 5(|xy-ay|+|ay-ab|)=5(|y||x-a|+|a||y-b|) [mm] \le [/mm] 5(2|x-a|+2|y-b|)
= 10 [mm] \parallel \vektor{x \\ y}-\vektor{a \\ b} \parallel_1
[/mm]
Grüße,
gerani
|
|
|
|
