Lipschitz Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 So 11.05.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Funktion f(t,x) = [mm] t\wurzel[3]{x^2} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] \ (0,0) lipschitzstetig bezüglich x ist. Und zeigen sie expliezit, dass die funktion im Punkt (0,0) nicht Lipschitzstetig ist. |
Ich weiß, wie es mit einer anderen Funktion geht, kann aber für diese keinen Trick finden.
für f(t,x) = [mm] t\wurzel{x}
[/mm]
[mm] \bruch{|s\wurzel{x} - s\wurzel{y}|}{|x-y|} [/mm] = [mm] \bruch{|s||\wurzel{x} - \wurzel{y}|}{|x-y|} [/mm] = [mm] \bruch{|s|}{\wurzel{x} + \wurzel{y}} [/mm] für x,y > 0
Nun eine Umgebung [mm] U^2_{x_0/2}(s_0,x_0) [/mm] und elemente (s,x), (s,y) daraus und ich schätze ab.
[mm] \bruch{|s|}{\wurzel{x} + \wurzel{y}} [/mm] < [mm] \bruch{|s|}{\wurzel{2x_0}} [/mm] < [mm] \bruch{|s_0|+ x_0/2}{\wurzel{2x_0}} [/mm] = L
Wie forme ich aber nun oben um?
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> Zeigen sie, dass die Funktion f(t,x) = [mm]t\wurzel[3]{x^2}[/mm] auf
> ganz [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] \ (0,0) lipschitzstetig bezüglich x ist. Und
> zeigen sie expliezit, dass die funktion im Punkt (0,0)
> nicht Lipschitzstetig ist.
> Ich weiß, wie es mit einer anderen Funktion geht, kann
> aber für diese keinen Trick finden.
>
> für f(t,x) = [mm]t\wurzel{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{|s\wurzel{x} - s\wurzel{y}|}{|x-y|}[/mm] =
> [mm]\bruch{|s||\wurzel{x} - \wurzel{y}|}{|x-y|}[/mm] =
> [mm]\bruch{|s|}{\wurzel{x} + \wurzel{y}}[/mm] für x,y > 0
Hier wurde also benutzt, dass gilt [mm] $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
[/mm]
> Nun eine Umgebung [mm]U^2_{x_0/2}(s_0,x_0)[/mm] und elemente (s,x),
> (s,y) daraus und ich schätze ab.
>
> [mm]\bruch{|s|}{\wurzel{x} + \wurzel{y}}[/mm] <
> [mm]\bruch{|s|}{\wurzel{2x_0}}[/mm] < [mm]\bruch{|s_0|+ x_0/2}{\wurzel{2x_0}}[/mm]
> = L
>
> Wie forme ich aber nun oben um?
Hier kannst Du benutzen, dass gilt [mm] $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Woaze |
Vielen Dank für deine Hilfe. Leider ergibt sich beim Umformen eine neue Frage:
Ich forme wie folgt um:
[mm] \bruch{|\wurzel[3]{x^2} - \wurzel[3]{y^2}|}{|x - y|} [/mm] = [mm] \bruch{|(\wurzel[3]{x^2} - \wurzel[3]{y^2})[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]|}{|(x - y)[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]|} [/mm] = [mm] \bruch{|x^2 - y^2|}{|(x - y)[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]|} [/mm] = [mm] \bruch{|x + y|}{|[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]
|}
[/mm]
Jetzt mal nur zur Umformung!!
Wenn ich jetzt wieder die gleiche Umgebung und die gleichen Punkte wie bei der anderen Funktion wähle, dann ergibt sich weiter:
[mm] (s,x),(s,y)\in U^2_{x_0/2}(s_0,x_0)
[/mm]
[mm] x<\bruch{x_0}{2}, y<\bruch{x_0}{2}, |s|-|s_0|<|s-s_0|<\bruch{x_0}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{|s||x + y|}{|[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]
|}<\bruch{(|s|+|x_0|)(|x_0|)}{|3\wurzel[3]{\bruch{x_0}{16}^4}|} [/mm] = [mm] \bruch{(|s|+|x_0|)(|x_0|)}{|6x_0\wurzel[3]{\bruch{x_0}{2}}|}
[/mm]
Und jetzt kann ich für [mm] x_0\not=0 [/mm] natürlich auch eine tolle Lipschitzkonstante finden, aber für [mm] x_0=0 [/mm] darf ich des [mm] x_0 [/mm] doch ned kürzen und dann geht bei mir der limes aber gegen 0 wenn ich mit L. Hosp umforme. Eigentlich ist aber doch Zählergrad > Nennergrad und somit gegen unendlich ????
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> Vielen Dank für deine Hilfe. Leider ergibt sich beim
> Umformen eine neue Frage:
>
> Ich forme wie folgt um:
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> [mm]\bruch{|\wurzel[3]{x^2} - \wurzel[3]{y^2}|}{|x - y|}[/mm] =
> [mm]\bruch{|(\wurzel[3]{x^2} - \wurzel[3]{y^2})[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]|}{|(x - y)[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]|}[/mm]
> = [mm]\bruch{|x^2 - y^2|}{|(x - y)[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]|}[/mm]
> = [mm]\bruch{|x + y|}{|[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]
|}[/mm]
>
> Jetzt mal nur zur Umformung!!
>
> Wenn ich jetzt wieder die gleiche Umgebung und die gleichen
> Punkte wie bei der anderen Funktion wähle, dann ergibt sich
> weiter:
>
> [mm](s,x),(s,y)\in U^2_{x_0/2}(s_0,x_0)[/mm]
>
> [mm]x<\bruch{x_0}{2}, y<\bruch{x_0}{2}, |s|-|s_0|<|s-s_0|<\bruch{x_0}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{|s||x + y|}{|[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)]
|}<\bruch{(|s|+|x_0|)(|x_0|)}{|3\wurzel[3]{\bruch{x_0}{16}^4}|}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(|s|+|x_0|)(|x_0|)}{|6x_0\wurzel[3]{\bruch{x_0}{2}}|}[/mm]
>
> Und jetzt kann ich für [mm]x_0\not=0[/mm] natürlich auch eine tolle
> Lipschitzkonstante finden, aber für [mm]x_0=0[/mm] darf ich des [mm]x_0[/mm]
> doch ned kürzen und dann geht bei mir der limes aber gegen
> 0 wenn ich mit L. Hosp umforme. Eigentlich ist aber doch
> Zählergrad > Nennergrad und somit gegen unendlich ????
Gemäss Aufgabenstellung musst Du Lipschitz-Stetigkeit auch nur für [mm] $(t,x)\in \IR\times \IR\backslash\{(0,0)\}$ [/mm] zeigen. Damit hast Du zumindest den ersten Teil der Aufgabenstellung erfüllt.
Bei $(0,0)$ sollst Du, gerade umgekehrt, Lipschitz-Stetigkeit widerlegen. Du wirst also wohl die Existenz einer Lipschitzkonstanten in diesem Falle zu widerlegen versuchen, indem Du die Differenz von unten abzuschätzen und so zu zeigen versuchst, dass es keine Lipschitz-Konstante geben kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Di 13.05.2008 | | Autor: | Woaze |
Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Ich hätte ja meine Lipschitzkonstante abgeschätzt für [mm] x_0 [/mm] gegen 0, aber das kann ich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
edit: Hier stand vorher Schwachsinn.
Wegen dem Punkt (0,0). Nimm dir eine beliebige Umgebung von (0,0), setze dann t in dieser Umgebung fest und [mm] \not= [/mm] 0, setze x auf 0 und lauf dann mit y gegen Null. Du wirst sehen, dass dein L dann gegen unendlich läuft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 13.05.2008 | | Autor: | Woaze |
Ich hab doch oben eine tolle Lipschitzkonstante in Abhängigkeit von einem Punkt gefunden. Jetzt wenn ich diesen Punkt [mm] x_0 [/mm] gengen 0 gehen lasse.
[mm] \limes_{x_0\rightarrow 0}\bruch{(|s|+|x_0|)(|x_0|)}{|6x_0\wurzel[3]{\bruch{x_0}{2}}|} =\bruch{0}{0}
[/mm]
So jetzt muss ich l hospital anwenden, damit ich den Limes bestimmen kann und der sollte ja gegen [mm] \infinity [/mm] gehen, weil Zählergrad höher als Nennergrad ist. Aber die Ableitung oben und unten bringt mir:
[mm] \limes_{x_0\rightarrow 0}\bruch{(|s|+|x_0|)(|x_0|)}{|6x_0\wurzel[3]{\bruch{x_0}{2}}|} [/mm] == [mm] \limes_{x_0\rightarrow 0}\bruch{s+2x_0}{6(\wurzel[3]{\bruch{x_0}{2}}+\bruch{x_0}{\wurzel[3]{(\bruch{x_0}{2}})^2} )} [/mm] == [mm] \limes_{x_0\rightarrow 0}\bruch{2}{6(\bruch{1/3}{\wurzel[3]{(\bruch{x_0}{2}})^2} +\bruch{1/3}{\wurzel[3]{(\bruch{x_0}{2}})^2} - \bruch{2/9x_0}{\wurzel[3]{(\bruch{x_0}{2}})^5})} [/mm] = 0
Und das verstehe ich nicht!!!
Die Frage ist also: Was hab ich bei der Näherung falsch gemacht???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm] \bruch{|s||x + y|}{|[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)] |}<\bruch{(|s|+|x_0|)(|x_0|)}{|3\wurzel[3]{\bruch{x_0}{16}^4}|}
[/mm]
Wahrscheinlich ist hier beim Einsetzen/Abschätzen was schief gelaufen (habs nicht nachgerechnet, sieht aber auf den ersten Blick mysteriös aus).
Wenn du in obiger Abschätzung x=0 setzt, so wie ichs gesagt hab, und y gegen 0 laufen lässt, dann kommt unendlich raus:
[mm] \bruch{|s||x + y|}{|[(\wurzel[3]{x^2})^2 + \wurzel[3]{x^2}\wurzel[3]{y^2} + (\wurzel[3]{y^2})^2)] |} \overset{x=0}{=}\bruch{|s||y|}{|y^\bruch{4}{3}|}=|s||y^{-1/3}|\overset{y\to 0}{\to}\infty.
[/mm]
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