Lipschitz Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mo 15.06.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] (X,\rho)\to (Y,\sigma) [/mm] eine Lipschitz Funktion zwischen diesen metrischen Räumen. Wir setzen LIP(f)={c: für jedes [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X gilt [mm] \sigma(f(x_1),f(x_2)) \le c\rho (x_1,x_2) [/mm] }. Zeigen Sie, dass die sogenannte Lipschitzkonstante von f lip(f)=inf LIP(f) existiert, und das [mm] lip(f)\in [/mm] LIP(f). |
Hallo!!!
Ich brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe!!!
Wie kann ich beweisen, dass das Infimum von der Menge LIP(f) exsistiert?
Muss man da die Definition des Infimums anwenden, also es existiert eine Zahl n mit: für jedes [mm] x\in [/mm] X gilt n< f(x), n ist gröste untere Schranke?
Weiss gar nicht wie ich das hier anwenden soll.
Bitte-bitte HILFE!!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mo 15.06.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo math101,
es gibt eine Eigenschaft der reellen Zahlen, die man Vollständigkeit nennt, aus der folgt, dass jede nach unten beschränkte Menge ein Infimum (= größte untere Schranke) hat (Entsprechendes gilt für das Supremum). Ich denke, das könnte für den ersten Schritt der Aufgabe helfen.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mo 15.06.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!Erst mal danke schön für die Antwort!!
> es gibt eine Eigenschaft der reellen Zahlen, die man
> Vollständigkeit nennt, aus der folgt, dass jede nach unten
> beschränkte Menge ein Infimum (= größte untere Schranke)
> hat
Aber hier weiß ich ja gar nicht ob X beschränkt ist.
gruß
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Hi!
> Aber hier weiß ich ja gar nicht ob X beschränkt ist.
Du benötigst auch nicht die Beschränktheit von X!
Welche Menge soll denn das Infimum besitzen? Das ist doch wohl die Menge LIP(f).
So und nun schau dir diese Menge mal an. (Tip: Was sind das für c's und woher kommen die?)
Gruß
Deuterinomium
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mo 15.06.2009 | | Autor: | math101 |
Achso!! Nach Definition von Lipschitz Funktion kommen diesie c´s aus [mm] \IR [/mm] und dann kann man an der Stellen die Vollständigkeitsaxiom anwenden.
Reicht das aber für den Beweis?
Danke
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Bis jetzt weißt Du:
lip(f)=inf LIP(f) existiert,
Du mußt noch zeigen:
$ [mm] lip(f)\in [/mm] $ LIP(f).
Sei [mm] c_0 [/mm] = lip(f). Zu zeigen:
$ [mm] \sigma(f(x_1),f(x_2)) \le c_0 \rho (x_1,x_2) [/mm] $ für alle [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Di 16.06.2009 | | Autor: | math101 |
Danke FRED für deine Beteiligung!
>
> lip(f)=inf LIP(f) existiert,
>
> Du mußt noch zeigen:
>
>
>
> [mm]lip(f)\in[/mm] LIP(f).
Aber wenn ich beweise dass [mm] c_0 \in [/mm] LIP(f) ist, dann heißt es ja dass [mm] c_0 [/mm] ein Minimum von LIP(f) ist und kein inf LIP(f) mehr.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Allgemein:
Ist M [mm] \subseteq \IR [/mm] nach unten beschränkt und gilt infM [mm] \in [/mm] M, so heißt infM das Minimum von M
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:05 Di 16.06.2009 | | Autor: | math101 |
Das meine ich ja.
ich hab versucht zu beweisen:
Sei [mm] c_0=lip(f), [/mm] dann da [mm] c_0 [/mm] =inf (LIP(f)) gilt [mm] c_0 \le [/mm] c für jedes [mm] c\in [/mm] LIP(f),
also [mm] c_0 \le \bruch{\sigma(f(x_1),f(x_2))}{\rho (x_1,x_2)}\le [/mm] c.
D.h. es gilt [mm] \forall x_1,x_2 \in [/mm] X: [mm] c_0 \not\in [/mm] LIP(f).
Dann soll lip(f) das Infimum von LIP(f) bleiben.
oder?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 18.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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