Lipschitzkonstante < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Di 04.07.2006 | | Autor: | smurf |
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der Lipschitzkonstante.
Gegeben sei die Formel [mm]x=f(x)=\bruch{1}{2}(x+\bruch{40}{x^2})[/mm] .
Um die Lipschitzkonstante zu ermitteln, brauchen wir (sowie ich das vestanden habe) das max der ersten Ableitung.
Die erste Ableitung lautet also:
[mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*(1+\bruch{-80}{x^3})[/mm]
Um das maximum der ersten Ableitung zu ermitteln, müssen wir die zweite Ableitung 0 setzen und das Ergebnis von x in die erste Ableitung einsetzen.
Die zweite Ableitung lautet also:
[mm]f''(x)=(\bruch{-240}{2x^4})[/mm]
Mein problem ist jetzt, daß ich für x 0 rausbekomme. Dies kann ich ja nicht in die erste Ableitung einsetzen( Teilen durch 0).
Wo liegt mein Denk fehler?
Vielen Dank für euere schnellen und hilfreichen Antworten.
Gruss smurf
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Hallo smurf,
> Hallo,
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> ich habe eine Frage bezüglich der Lipschitzkonstante.
> Gegeben sei die Formel
> [mm]x=f(x)=\bruch{1}{2}(x+\bruch{40}{x^2})[/mm] .
> Um die Lipschitzkonstante zu ermitteln, brauchen wir (sowie
> ich das vestanden habe) das max der ersten Ableitung.
>
> Die erste Ableitung lautet also:
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*(1+\bruch{-80}{x^3})[/mm]
>
> Um das maximum der ersten Ableitung zu ermitteln, müssen
> wir die zweite Ableitung 0 setzen und das Ergebnis von x in
> die erste Ableitung einsetzen.
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> Die zweite Ableitung lautet also:
> [mm]f''(x)=(\bruch{-240}{2x^4})[/mm]
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> Mein problem ist jetzt, daß ich für x 0 rausbekomme. Dies
> kann ich ja nicht in die erste Ableitung einsetzen( Teilen
> durch 0).
>
> Wo liegt mein Denk fehler?
ganz einfach: f' hat keine extrema. zumindest keine, die die funktion annehmen kann. Zeichne dir mal die funktion [mm] $g(x)=-\frac1 {x^3}$, [/mm] f' ist ja im prinzip nichts anderes, und überlege dir, ob es extrema gibt bzw. wo diese liegen.
allerdings wäre noch interessant, auf welchem menge die lipschitzkonstante gelten soll. zB. auf einem bestimmten Intervall (wie $I=[1,2]$) kann es ja eine solche geben.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mi 05.07.2006 | | Autor: | smurf |
Hallo Matthias
erstmal danke für deine Antwort.
Mir ist nur noch nicht klar, wie ich denn dann die Lipschitzkonstante berechnen kann, wenn es keine Extrema gibt.
Vielen Dank schonmal im Vorraus.
Gruß
smurf
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Hallo smurf,
> Mir ist nur noch nicht klar, wie ich denn dann die
> Lipschitzkonstante berechnen kann, wenn es keine Extrema
> gibt.
Wenn die Funktion differenzierbar ist und die Ableitung aber unbeschränkt( wie hier) gibt's keine Lipschitzkonstante die auf ganz R gilt. Man könnte wie Matthias das schon gesagt hat höchstens eine angeben die auf einem Intervall gültig ist.
viele grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Fr 07.07.2006 | | Autor: | smurf |
Hallo,
danke für eure antworten. Ich schreib jetzt hier mal die genaue Aufgabenstellung rein, denn irgendwie muss ich die Lipschitzkonstante doch berechnen können. Ein Intervall habe ich leider nicht gegeben.
Aufgabe:
In dieser Aufgabe soll die [mm]\wurzel[3]{40} [/mm] näherungsweise berechnet werden.
a) Zeigen Sie, dass [mm]\wurzel[3]{a}[/mm] Lösung der Fixpunktgleichung
[mm]x=f(x)=\bruch{1}{2}(x+\bruch{a}{x^2})[/mm] ist und das dies die einzige Lösung der Gleichung ist.
b) Berechnen Sie für die angegeben Funktion f die minimal mögliche Lipschitzkonstante L
Mehr Angaben habe ich nicht. Ich hoffe ihr könnt mir trotzdem weiterhelfen.
Gruß,
smurf
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Hallo smurf,
> danke für eure antworten. Ich schreib jetzt hier mal die
> genaue Aufgabenstellung rein, denn irgendwie muss ich die
> Lipschitzkonstante doch berechnen können. Ein Intervall
> habe ich leider nicht gegeben.
>
> Aufgabe:
> In dieser Aufgabe soll die [mm]\wurzel[3]{40}[/mm] näherungsweise
> berechnet werden.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\wurzel[3]{a}[/mm] Lösung der
> Fixpunktgleichung
> [mm]x=f(x)=\bruch{1}{2}(x+\bruch{a}{x^2})[/mm] ist und das dies die
> einzige Lösung der Gleichung ist.
> b) Berechnen Sie für die angegeben Funktion f die minimal
> mögliche Lipschitzkonstante L
>
Wenn ich mich recht erinnere kann man zeigen:
Mit [mm] x>\wurzel[3]{a} [/mm] ist auch [mm] f(x)>\wurzel[3]{a} [/mm] d.h man kann sich selbst ein Intervall für den Banachschen Fixpunktsatz vorgeben. [mm] (\wurzel[3]{a}, \infty) [/mm] Für dieses Intervall kann man dann auch die maximale Ableitung finden.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Fr 07.07.2006 | | Autor: | smurf |
Hallo,
danke für Deine Antworten, aber irgendwie steig ich da nicht so ganz dahinter. Wenn ich mir jetzt ein Intervall selber wählen kann (nachdem ich bewiesen habe das x>[mm]\wurzel[3]{a}[/mm], dann kommen doch je nach intervall unterschiedliche Ergebnisse heraus. Die Lipschitzkonstante vom Intervall [a, 10] wird ja eine andere sein als die von [a,900]?
Gruß,
smurf
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Hallo smurf,
> danke für Deine Antworten, aber irgendwie steig ich da
> nicht so ganz dahinter. Wenn ich mir jetzt ein Intervall
> selber wählen kann (nachdem ich bewiesen habe das
> x>[mm]\wurzel[3]{a}[/mm], dann kommen doch je nach intervall
> unterschiedliche Ergebnisse heraus. Die Lipschitzkonstante
> vom Intervall [a, 10] wird ja eine andere sein als die von
> [a,900]?
Nö das ist die selbe da mußt Du dir nochmal deine Ableitung anschauen und wo deren Maximum liegt.
Und das mit dem Intervall wählen war eigentlich im gemeint. Ich nehme mal an das man letztlich zeigen soll das die Folge [mm] x_{k+1}=f(x_k) [/mm] gegen [mm] \wurzel[3]{a} [/mm] geht.
Es gilt ansonsten weiterhin global(für alle x aus R) gibt's keine L-Konstante.
viele grüße
mathemaduenn
Edit: Quatsch es stand doch zwischendurch da das dies gemacht werden soll. Also Banachschen Fixpunktsatz anschauen. Ich nehme mal an das die Aufagbe in dem Zusammenhang steht.
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