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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Geben Sie die Lipschitzkonstante L an für die Funktion [mm] f(y)=y^2-2 [/mm] auf dem Intervall I=[-1,2], d.h. die kleinste Konstante, für die gilt: [mm] |f(y)-f(y')|\le [/mm] L|y-y'| für alle y,y' [mm] \in [/mm] I. |
Hallo,
wegen
[mm] \frac{d}{dy}f(y)=2y
[/mm]
und
2y<=4 [mm] \forall [/mm] y,y' [mm] \in [/mm] I
habe ich L=4 gewählt.
ist das ok?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Fr 02.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Rutzel
> Geben Sie die Lipschitzkonstante L an für die Funktion
> [mm]f(y)=y^2-2[/mm] auf dem Intervall I=[-1,2], d.h. die kleinste
> Konstante, für die gilt: [mm]|f(y)-f(y')|\le[/mm] L|y-y'| für alle
> y,y' [mm]\in[/mm] I.
>
> Hallo,
>
> wegen
> [mm]\frac{d}{dy}f(y)=2y[/mm]
> und
> 2y<=4 [mm]\forall[/mm] y,y' [mm]\in[/mm] I
>
> habe ich L=4 gewählt.
>
> ist das ok?
Schon. Aber kannst du das auch etwas genauer begruenden?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
> Schon. Aber kannst du das auch etwas genauer begruenden?
Naja,
[mm] |f(y)-f(y')|\le [/mm] L|y-y'|
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \frac{|f(y)-f(y')|}{|y-y'|}\le [/mm] L
Links steht ja der Betrag des Differenzenquotient, bzw eben [mm] \left|\frac{d}{dy}f(y)\right|.
[/mm]
hm... eigentlich hat man beim differenzenquotienten y->y', wie kann man das dann retten?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Sa 03.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Schon. Aber kannst du das auch etwas genauer begruenden?
>
> Naja,
> [mm]|f(y)-f(y')|\le[/mm] L|y-y'|
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\frac{|f(y)-f(y')|}{|y-y'|}\le[/mm] L
Ja, fuer $y [mm] \neq [/mm] y'$.
> Links steht ja der Betrag des Differenzenquotient, bzw eben
> [mm]\left|\frac{d}{dy}f(y)\right|.[/mm]
Nein, der Grenzwert fuer $y' [mm] \to [/mm] y$ ist [mm] $|\tfrac{d}{d y} [/mm] f(y)|$, nicht der Bruch selber.
> hm... eigentlich hat man beim differenzenquotienten y->y',
> wie kann man das dann retten?
Nun, du musst einen passenden Satz anwenden. Der Differenzenquotient ist immer der Wert einer Ableitung, aber evtl an einer anderen Stelle.
Damit kannst du argumentieren, dass dein $L$ gross genug ist. Aber ist es auch das minimal moegliche?
LG Felix
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