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| Aufgabe | | Geben Sie ein Intervall und eine Lipschitz-Konstante [mm] L_f [/mm] mit dem Funktion f(x) = [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] Lipschitz stetig ist. |
Guten Abend,
auch nach mehrmaligem Lesen meiner Mitschriften und einigen Seiten im Internet ist mir noch immer nicht klar, was es denn mit der Lipschitzstetigkeit genau auf sich hat.
Stetigkeit einer Funktion bedeutet doch eigentlich nichts anderes als, dass keine Sprünge vorkommen. Bei Wikipedia findet sich dieser Satz dazu: ".. eine reelwertige Funktion ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann."
Nun gut, aber was besagt Lipschitz genau? Es ist doch so, dass auch eine nicht stetige Funktion in bestimmten Intervallen möglicherweise stetig ist, richtig?
Definition von Lipschitz:
|f(x)-f(y)|<=L|x-y|
Also hätte ich doch, um auf die ursprüngliche Frage zurück zu kommen, ein Intervall von (x>0 oder x<0) bis unendlich. Wie ermittle ich nun die Lipschitzkonstante?
Mir ist die ganze Herangehensweise absolut unklar.
Gruß
Claas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Geben Sie ein Intervall und eine Lipschitz-Konstante [mm]L_f[/mm]
> mit dem Funktion f(x) = [mm]\frac{1}{x^2}[/mm] Lipschitz stetig ist.
> Guten Abend,
>
> auch nach mehrmaligem Lesen meiner Mitschriften und einigen
> Seiten im Internet ist mir noch immer nicht klar, was es
> denn mit der Lipschitzstetigkeit genau auf sich hat.
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> Stetigkeit einer Funktion bedeutet doch eigentlich nichts
> anderes als, dass keine Sprünge vorkommen. Bei Wikipedia
> findet sich dieser Satz dazu: ".. eine reelwertige Funktion
> ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des
> Stiftes gezeichnet werden kann."
>
> Nun gut, aber was besagt Lipschitz genau? Es ist doch so,
> dass auch eine nicht stetige Funktion in bestimmten
> Intervallen möglicherweise stetig ist, richtig?
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> Definition von Lipschitz:
> |f(x)-f(y)|<=L|x-y|
>
> Also hätte ich doch, um auf die ursprüngliche Frage zurück
> zu kommen, ein Intervall von (x>0 oder x<0) bis unendlich.
> Wie ermittle ich nun die Lipschitzkonstante?
>
Passend! Wenn es keine besonderen Ansprüche an L gibt, wähst du L einfach ausreichend groß, um die Ungleichung für das gesamte Intervall zu erfüllen. In der Regel müsste L den maximalen Anstieg innerhalb des Intervalls übertreffen.
Viele Grüße
Abakus
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> Mir ist die ganze Herangehensweise absolut unklar.
>
> Gruß
> Claas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ok, also ist es in der Theorie so, wie ich es bereits angenommen habe. Allerdings habe ich nach wie vor große Probleme damit, dies denn auch durch Umformen etc. zu zeigen.
Also Beispiel will ich hier gerne kurze die Musterlösung zu [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] niederschreiben:
f(x) = [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] Intervall I=[5,10]
[mm] |\frac{1}{x_2^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{x_1^2}| [/mm] = [mm] \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_2^2 * x_1^2} [/mm] < L [mm] |x_2 [/mm] - [mm] x_1| (x_1 [/mm] - [mm] x_2) (x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] ) * [mm] \frac{1}{x_2^2 * x_1^2} \le [/mm] ..........
L [mm] \ge |x_1 [/mm] + [mm] x_2| [/mm] * [mm] |\frac{1}{x_2^2 * x_1^2}| \forall x_1,x_2 \in [/mm] I
[mm] \ge |x_1| [/mm] * [mm] |\frac{1}{x_1^2 * x_2^2}| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] * [mm] |\frac{1}{x_1^2 * x_2^2}|
[/mm]
[mm] \ge |\frac{1}{x_1 * x_2^2}| [/mm] + [mm] |\frac{1}{x_1^2 * x_2}| \ge \frac{2}{125}
[/mm]
Das habe ich heute dann einfach mal so hingenommen. Die ganze Vorgehensweise ist mir aber irgendwie nicht ganz klar.
Nunja, optimistisch an die nächste Aufgabe gegangen.
f(x) = [mm] ln(x^2) [/mm] Intervall wieder [5,50] gewählt
[mm] |ln(x_2^2) [/mm] - [mm] ln(x_1^2)| [/mm] hingeschrieben und bereits ratlos.
Aus Verzweiflung noch = [mm] |ln(x_2) [/mm] + [mm] ln(x_2) [/mm] - [mm] ln(x_1) [/mm] - [mm] ln(x_1)| \le [/mm] L aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter.
Gruß
Claas
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Mal so generell zur Lipschitzstetigkeit: Schaut man sich Definition genau an, dann sollte man sehen, dass [mm]\bruch{|f(x) -f(y)|}{|x-y|}[/mm] der Betrag der Sekantensteigung zwischen den Punkten [mm](x, f(x))[/mm] und [mm](y, f(y))[/mm] ist. Mit der Lipschitzstetigkeit fordert man, dass diese Sekantensteigung im Betrag immer beschränkt ist - nämlich durch die Konstante L.
Wäre f unstetig, dann gäbe es eine Stelle, an der die Funktion "springt" und dort könnte die Sekantensteigung beliebig groß werden, wenn einer der Punkte auf der einen und der andere auf der anderen Seite der Sprungstelle liegt.
Andererseits sorgt Lipschitzstetigkeit auch dafür, dass die Funktion nicht zu schnell wächst, wenn einer der beiden Punkte festgehalten wird und der andere gegen Unendlich geht. Das wird noch wichtig, wenn man sich mit Differentialgleichungen beschäftigt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:48 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, also ist es in der Theorie so, wie ich es bereits
> angenommen habe. Allerdings habe ich nach wie vor große
> Probleme damit, dies denn auch durch Umformen etc. zu
> zeigen.
>
> Also Beispiel will ich hier gerne kurze die Musterlösung zu
> [mm]\frac{1}{x^2}[/mm] niederschreiben:
>
> f(x) = [mm]\frac{1}{x^2}[/mm] Intervall I=[5,10]
machen wir hier mal "Stopp". Wir wissen nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] [5,10]$ mit $x < y$ gilt:
Es gibt ein $x < [mm] \xi [/mm] < y$ mit
[mm] $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f\,'(\xi)$, [/mm] wobei bei Dir [mm] $f\,'(x)=-2*x^{-3}$ [/mm] ($x [mm] \not=0$)
[/mm]
Überlege Dir damit, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] [5,10]$ mit $x [mm] \not=y$, [/mm] wobei Du o.E. $x < y$ annehmen kannst, folgt:
[mm] $\left|f(y)-f(x)\right| \le (\sup\{|f\,'(\xi)|: \xi \in [5,10]\})*|y-x|$
[/mm]
Nun kannst Du z.B. [mm] $\sup\{|f\,'(\xi)|: \xi \in [5,10]\}$ [/mm] ausrechnen (mit Begründung), oder nach oben abschätzen, um eine Lipschitzkonstante auf $[5,10]$ für $f$ zu bekommen.
(Noch einfacher geht es über einen theoretischen Hintergrund: Die Funktion [mm] $|f\,'(x)|$ [/mm] ist stetig auf dem Kompaktum $[5,10]$, nimmt dort also insbesondere ihr Maximum an.)
Tipp:
Für $x > 0$ ist
[mm] $|f\,'(x)|=\left|-\frac{2}{x^3}\right|=\frac{2}{x^3}$, [/mm] und letztstehende Funktione ist auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] streng monoton fallend...
P.S.:
Ich würde die Aussage verstärken zu:
Für jedes festes $a > 0$ ist [mm] $f(x)=\frac{1}{x^2}$ [/mm] Lipschitzstetig auf [mm] $[a,\infty)$. [/mm] Wenn Du das obige verstanden hast, dürfte Dir der Beweis hierzu nicht mehr allzu schwer fallen.
(P.P.S.:
Man kann - z.B. wegen der Achsensymmetrie - wenn man die letzte Aussage von mir gezeigt hat, insbesondere dann folgern, dass [mm] $f(x)=\frac{1}{x^2}$ [/mm] auch für jedes feste $ a < 0 $ Lipschitzstetig auf [mm] $(-\infty,a]$ [/mm] ist.
Dass die Funktion übrigens nicht Lipschitzstetig auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] sein kann, folgt schon, weil sie dort nicht glm. stetig ist (Lipschitzstetigkeit impliziert insbesondere glm. Stetigkeit)).
Gruß,
Marcel
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