Lipschitzstetigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 19.01.2010 | | Autor: | laphus |
| Aufgabe | | [mm] f:D\mapsto\IR, [/mm] f sei stetig differenzierbar |
Folgt aus stetiger Differenzierbarkeit der Funktion f die Lipschitzstetigkeit von f oder nur die lokale Lipschitzstetigkeit von f?
Meine Überlegung: f(x)= [mm] x^{2} [/mm] ist stetig differenzierbar aber nur lokal lipschitzstetig. Demnach ist die obige Aussage doch falsch, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:D\mapsto\IR,[/mm] f sei stetig differenzierbar
> Folgt aus stetiger Differenzierbarkeit der Funktion f die
> Lipschitzstetigkeit von f oder nur die lokale
> Lipschitzstetigkeit von f?
> Meine Überlegung: f(x)= [mm]x^{2}[/mm] ist stetig differenzierbar
> aber nur lokal lipschitzstetig. Demnach ist die obige
> Aussage doch falsch, oder?
Oben steht keine Aussage ! Da steht die Frage:
"Folgt aus stetiger Differenzierbarkeit der Funktion f die Lipschitzstetigkeit von f oder nur die lokale Lipschitzstetigkeit von f? "
Das i.a. die Lipschitzstetigkeit nicht folgt, hast Du mit Deinem obigen Beispiel gezeigt.
Jetzt mußt Du noch zeigen: aus stetiger Differenzierbarkeit folgt lokale Lipschitzstetigkeit
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 19.01.2010 | | Autor: | laphus |
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Der Beweis "stetig differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] lok. lipschitzstetig" geht mit Hilfe des Mittelwertsatzes.
Stimmt diese Aussage eigentlich auch dann, wenn [mm] f:D\mapsto\IR^{n} [/mm] abbildet und stetig differenzierbar in jeder Komponente ist???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort! Der Beweis "stetig
> differenzierbar [mm]\Rightarrow[/mm] lok. lipschitzstetig" geht mit
> Hilfe des Mittelwertsatzes.
Genau !
> Stimmt diese Aussage eigentlich auch dann, wenn
> [mm]f:D\mapsto\IR^{n}[/mm] abbildet und stetig differenzierbar in
> jeder Komponente ist???
Ja, kannst Du es auch beweisen ?
FRED
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