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Forum "Funktionen" - Lipschitzstetigkeit einer Funk
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Lipschitzstetigkeit einer Funk: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 So 10.02.2008
Autor: nahpets87

Aufgabe
Seien f(x) und g(x) lipschitzstetige Funktionen, zeigen Sie:

Die Funktion f(x)-g(x) ist auch lipschitzstetig.

Hi!

Also eigentlich weiss ich worauf die lipschitzstetigkeit hinaus will, aber bei diesem Beispiel steh ich auf dem Schlauch ;)

Ich hatte folgende Beweisidee:

Da f(x) und g(x) ls sind gilt:

|f(x)-f(y)| <= L|x-y| sowie
|g(x)-g(y)| <= L|x-y|

setzt man das wiederrum einfach ein, erhält man:

|f(x)-f(y)| - |g(x)-g(y)| <= L|x-y|

Wohin ich aber eigentlich kommen muss, wäre ja folgendes:

|f(x)-g(x)  -  f(y)-g(y)| <= L|x-y|

Wie komme ich aus dem Ansatz dahin?

Lg.  

        
Bezug
Lipschitzstetigkeit einer Funk: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 So 10.02.2008
Autor: nahpets87

Aufgabe
sei f(x) ls, zeige dass xf(x) ebenfalls ls ist.

Ja, hier hab ich direkt das nächste Problem:

ich muss ja zeigen, dass:

|xf(x) - yf(y) | <= L |x-y| ist.

Also würde ich gerne  |xf(x) - yf(y) | so umformen, dass z * |f(x) - f(y)| dasteht. doch wie bekomm ich das hin?

Lg.

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Bezug
Lipschitzstetigkeit einer Funk: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 So 10.02.2008
Autor: Walde

hi nochmal,

> sei f(x) ls, zeige dass xf(x) ebenfalls ls ist.

Ist das die komplette Aufgabenstellung? Dann versteh ich auch was nicht:

Nimm zum Beispiel die Identische Abbildung f(x)=x. Die ist Lip.stetig, da offensichtlich

[mm] |f(x)-f(y)|=|x-y|\le [/mm] L|x-y| mit L=1 gilt.

Aber [mm] x*f(x)=x^2 [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] nicht Lip.stetig.

Ich vermute daher es fehlt noch was in der Aufgabenstellung?

LG walde

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Bezug
Lipschitzstetigkeit einer Funk: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 So 10.02.2008
Autor: nahpets87

Hi,

Also es gibt noch den Hinweis, dass x aus J ist und J ein beschränktes Teilinterval von I (die Funktion f(x) ist ls auf dem Intervall I).

Hätte ich dazuschreiben sollen, entschuldigung.

Bezug
                                
Bezug
Lipschitzstetigkeit einer Funk: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 So 10.02.2008
Autor: nahpets87

Aufgabe
Ist |f(x)| ls, wenn f(x) ls ist.

und gleich noch eine Frage...mann mann mann:

Also |f(x)|:

|f(x)| - |f(y)| >= |f(x) - f(y)| <= L|x-y|

Da hat man jetzt aber das PRoblem, dass wegen der Dreiecksungleich ein >= Zeichen in der Kette dabei ist. Das reicht dann ja nicht für den Beweis nehm ich an...

Bezug
                                        
Bezug
Lipschitzstetigkeit einer Funk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 So 10.02.2008
Autor: Walde

Hi Stephan,

> Ist |f(x)| ls, wenn f(x) ls ist.
>  und gleich noch eine Frage...mann mann mann:
>  
> Also |f(x)|:
>  
> |f(x)| - |f(y)| >= |f(x) - f(y)| <= L|x-y|
>  
> Da hat man jetzt aber das PRoblem, dass wegen der
> Dreiecksungleich ein >= Zeichen in der Kette dabei ist. Das
> reicht dann ja nicht für den Beweis nehm ich an...

Was du zeigen musst ist

| |f(x)|-|f(y)| | [mm] \le [/mm] L|x-y|

Es gilt
| |f(x)|-|f(y)| | [mm] \le|f(x)-f(y)| [/mm]

(Beweis []hier)

und da f L.stetig ist, folgt die Behauptung.

Lg walde

Bezug
                
Bezug
Lipschitzstetigkeit einer Funk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 Mo 11.02.2008
Autor: Walde

Hi Stephan,

ist J nur beschränkt oder auch abgeschlossen? Dann würde ich folgendes vorschlagen:

z.Z. [mm] |xf(x)-yf(y)|\le [/mm] L|x-y|


Meine Idee ist xf(y)-xf(y)=0 zu addieren, dann steht da

[mm] |xf(x)-yf(y)|=|xf(x)-xf(y)+xf(y)-yf(y)|\le|xf(x)-xf(y)|+|xf(y)-yf(y)| [/mm]

[mm] =|x||f(x)-f(y)|+|f(y)|\cdot|x-y| [/mm]

da f L.stetig ist:

[mm] =|x|\cdot L_1|x-y|+|f(y)||x-y|=|x-y|\cdot(|x|L_1+|f(y)|) [/mm]

und wenn J beschänkt und abgeschlossen ist, kann man |x| einfach durch das Maximum von |x| im Intervall J und |f(y)| durch das Maximum von
|f(y)| auf J nach oben abschätzen. Das geht,weil f L-stetig, also auch stetig ist und dann auf einem kompakten (=beschränkt und abgeschlossen) Intervall ein Maximum hat.

Insgesamt hat man dann eine Lipschitzkonstante.

Wenn J nicht kompakt ist, bin ich mir nicht sicher, ob man das so machen kann.Vielleicht reichts dann, wenn I kompakt ist, wenn man anstatt dem Maximum von |x| das Supremum von |x| auf J nimmt und anstatt Maximum von f auf J das Maximum von f auf I. Wenn I auch nicht kompakt ist, bin ich grad überfragt.


Gute Nacht,

lg walde

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Lipschitzstetigkeit einer Funk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 10.02.2008
Autor: Walde

hi Stephan,

also zu zeigen ist

[mm] |f(x)-g(x)-(f(y)-g(y))| \le L|x-y| [/mm]

es gilt:

[mm] |f(x)-g(x)-(f(y)-g(y))| [/mm]

umordnen

[mm] =|f(x)-f(y)+g(y)-g(x)| [/mm]

Dreiecksungleichung anwenden

[mm] \le|f(x)-f(y)|+|g(y)-g(x)| [/mm]

und nun,da gilt |a-b|=|b-a|:

[mm]=|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)| [/mm]

Lip.stetigkeit von f und g ausnutzen

[mm] \le L_1|x-y|+L_2|x-y|=\underbrace{(L_1+L_2)}_{=:L}|x-y| [/mm]


Das sollte es sein.

LG walde


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