Lipschitzstetigkeit f*g < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f, g : D [mm] \to \IR [/mm] Lipschitz-stetig.
Entscheiden Sie, ob f [mm] \cdot [/mm] g Lipschitz-stetig ist (Beweis oder Gegenbeispiel). |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich grad mit der oben genannten Aufgabe und komme auf kein wirkliches Ergebnis.
ich habe schon rausgefunden, dass das mit der Lipschitz-stetigkeit von f [mm] \cdot [/mm] g nicht klappen sollte, jedenfalls nicht i. A.
Jedoch finde ich kein Gegenbeispiel...
Ich denke dass der Knackpunkt vermutlich dort liegt, dass die "Lipschitzkonstante" gleich Null sein müsste, damit es nicht klappt, allerdings komme ich damit auch auf keinen grünen Zweig...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen würde!
Danke schonmal im Voraus :)
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Janinaflo und erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> f, g : D [mm]\to \IR[/mm] Lipschitz-stetig.
> Entscheiden Sie, ob f [mm]\cdot[/mm] g Lipschitz-stetig ist (Beweis
> oder Gegenbeispiel).
> Hallo zusammen,
>
> ich beschäftige mich grad mit der oben genannten Aufgabe
> und komme auf kein wirkliches Ergebnis.
> ich habe schon rausgefunden, dass das mit der
> Lipschitz-stetigkeit von f [mm]\cdot[/mm] g nicht klappen sollte,
> jedenfalls nicht i. A.
Das denke ich auch ...
> Jedoch finde ich kein Gegenbeispiel...
Schaue dir mal scharf die Identische Abbildung [mm] $\operatorname{id}:[0,\infty)\to\IR, x\mapsto [/mm] x$ an ...
> Ich denke dass der Knackpunkt vermutlich dort liegt, dass
> die "Lipschitzkonstante" gleich Null sein müsste, damit es
> nicht klappt, allerdings komme ich damit auch auf keinen
> grünen Zweig...
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> würde!
>
> Danke schonmal im Voraus :)
>
> LG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
das naheliegendste ist wirklich, sich $f: x [mm] \mapsto [/mm] x$ anzuschauen - allerdings hätte ich das auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] gemacht.
Falls Du auf dem Schlauch stehst: Diese Funktion, und das ist sowas von trivial, ist Lipschitzstetig mit bestmöglichster Lipschitzkonstante [mm] $1\,.$ [/mm] (Kompliziert denkende Menschen würden übrigens auch eine obere Schranke für [mm] $|f'|\,$ [/mm] finden und damit argumentieren können - ob ich in diesem Satz vll. auch einen Hinweis gebe, wie man generell "sehr oft" bei diff'baren Funktionen Lipschitzstetigkeit prüfen kann: Wer weiß?.)
Nun kann man sich mal anschauen, was passiert, wenn man [mm] $f\,$ [/mm] mal mit sich selbst multipliziert...
Gruß,
Marcel
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Ok, ich habe nun g(x) = f(x)= x gewählt, also muss ich ja versuchen die Lipschitz-Stetigkeit bei g(x) * f(x) = [mm] x^2 [/mm] nachzuweisen, bzw. zeigen, dass es nicht geht. Aber irgendwie bekomme ich schon wieder eine Lipschitz- Konstante von 1 raus und das kann ja irgendwie nicht sein ?!
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Na dann verrate uns doch bitte mal deinen Rechenweg.
Da wird sicher irgendwo ein kleiner Denkfehler drinn sein.
Davon abgesehen ist die Überlegung bis dahin ganz richtig, du musst jetzt zeigen, dass [mm] $x^2$ [/mm] nicht L.-stetig ist.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Do 12.01.2012 | | Autor: | Janinaflo |
So, ich hab die ganze Sache noch einmal durchgerechnet und nun kommt es hin! Habe meinen Fehler also gefunden :)
Vielen Dank für eure Hilfe!!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 12.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, ich habe nun g(x) = f(x)= x gewählt, also muss ich ja
> versuchen die Lipschitz-Stetigkeit bei g(x) * f(x) = [mm]x^2[/mm]
> nachzuweisen, bzw. zeigen, dass es nicht geht.
natürlich letzteres. Während ein Beispiel i.a. kein Beweis ist, ist ein Gegenbeispiel ein Gegenbeweis!
> Aber
> irgendwie bekomme ich schon wieder eine Lipschitz-
> Konstante von 1 raus und das kann ja irgendwie nicht sein
> ?!
Nein. Die Ableitung von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ist ja wegen [mm] $f'(x)=2x\,$ [/mm] offensichtlich unbeschränkt.
Wikipedia etwa kannst Du entnehmen, dass insbesondere eine jede diff'bare Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] genau dann Lipschitzstetig ist, wenn die Ableitung beschränkt ist!
P.S.: Da Du uns weder Deine Rechnung noch Deine Fehlerkorrektur gezeigt hast, kann natürlich keiner Deine - nun von Dir korrigierte - Lösung kontrollieren!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Do 12.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hey,
ich hab diese Aufgabe wie folgt gelöst, ich weiß nicht ob das richtig ist, aber vielleicht hilft dir das weiter, oder du hast Lust es zu vergleichen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Do 12.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
> ich hab diese Aufgabe wie folgt gelöst, ich weiß nicht ob
> das richtig ist, aber vielleicht hilft dir das weiter, oder
> du hast Lust es zu vergleichen?
das sieht doch auch gut aus. Du solltest das Bild/den Scan vielleicht ein wenig kleiner laden, ich werde es gleich mal "anpassen".
Edit: "Anpassung" hat leider nicht geklappt.
Für alle, die interessiert sind, aber zu lange auf das Laden des Bildes warten müssen und dies nicht wollen:
Im Wesentlichen hat sie gezeigt: Angenommen, [mm] $h(x)=x^2$ [/mm] wäre Lipschitzstetig auf [mm] $\IR$ [/mm] mit Lipschitzkonstante $L > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann folgt für [mm] $x:=L\,,$ $y:=2L\,$
[/mm]
[mm] $$|h(y)-h(x)|=|4L^2-L^2|=3L^2 \le [/mm] L [mm] |y-x|=L^2\,,$$
[/mm]
was nach Division durch [mm] $L^2 [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] zum Widerspruch
$$3 [mm] \le [/mm] 1$$
führt.
In der Tat: Sie hat's anders aufgeschrieben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Do 12.01.2012 | | Autor: | Pia90 |
Danke für die Rückmeldung und deinen Hinweis zum Hochladen des Scans! Ich werde beim nächsten Mal darauf achten!
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Do 12.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Rückmeldung und deinen Hinweis zum
> Hochladen des Scans!
gerne. Und sorry für die "Editierversionen meinerseits". Eigentlich hätte ich das verkleinerte Bild (ich hab's mit Irfanview verkleinert) hochladen können müssen. Liegt vermutlich an meiner Internetverbindung, dass das nicht gefunzt hat.
> Ich werde beim nächsten Mal darauf
> achten!
Das wäre nett. Danke!
Gruß,
Marcel
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