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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösbar oder nicht?
Lösbar oder nicht? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösbar oder nicht?: Lineares Gleichungssystem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Fr 03.10.2008
Autor: steem

Aufgabe
Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus die Lösung(en) des folgenden linearen Gleichungssystems!
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 & 1\\ -2 & -4 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 1}\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 5\\ -14 \\ 6 } [/mm]

Hier habe ich 3 Gleichungen und 4 Unbekannte. Also ist dieses Gleichungssystem nicht lösbar, oder gibt es da etwas was ich irgendwie verpasst habe und es geht doch? :)

        
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Lösbar oder nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Fr 03.10.2008
Autor: Teufel

Hi!

Dass da mehr Variablen als Gleichungen sind, macht nichts :)
Du hast ja in der Schule z.B. auch 2 Ebenen gleichsetzen können. Da hatte man ja auch 3 Variablen (x, y, z) aber nur 2 Gleichungen. Gelöst hat man das, in dem man einer Variablen einen Parameter, eine unbestimmte, aber feste Zahl (z.B. t) zugeordnet.

Du könntest also z.B. [mm] x_4=t [/mm] setzen und dann das 3x3-LGS in Abhängigkeit von t lösen.

[anon] Teufel

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Lösbar oder nicht?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 So 05.10.2008
Autor: steem

Ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe.  Aber ich hab das jetzt einfach mal so gemacht wie ich es verstanden hab!

Ich habe mir aus diesem System
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 & 1\\ -2 & -4 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 1}\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 5\\ -14 \\ 6 } [/mm]

folgende 3x3 Matrix rausgesucht

[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 \\ -2 & -4 & -3 \\ 2 & 0 & 1 } [/mm]

und diese in die Form

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 } [/mm]

Gebracht. Jetzt habe ich ja vom Anfang noch was über, da ich nicht wusste was man damit macht, hab ich das einfach drangehängt und mein derzeitiger Stand sieht so aus:


[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }\pmat{ 1t \\ -3t \\ 1t }=$ \pmat{ 5 \\ -14 \\ 6} [/mm]

Irgendwie beschleicht mich das Gefühl, dass ich mich damit auf Abwegen befinde :)



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Lösbar oder nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 So 05.10.2008
Autor: Merle23

Schreibe dir die erweiterte Matrix hin, also [mm]\pmat{ 1 & 3 & 5 & 1 & 5\\ -2 & -4 & -3 & -3 & -14 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 6}[/mm], und jetzt forme diese ganze Matrix so um wie du es vorher gemacht hast, also das "der Anfang" eine [mm]3\times 3[/mm] Einheitsmatrix ergibt.
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Lösbar oder nicht?: Und dann?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 So 05.10.2008
Autor: steem

Nun sieht es so aus! Am Anfang nur 1sen hinzukriegen geht nicht ohne das man im Rest Brüche in Kauf nimmt. Ich weiß nun nicht, wie zwingend es ist, das am Anfang nur 1sen stehen?!

[mm] \pmat{ 7 & 0 & 0 & 12 & 55\\ 0 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -4} [/mm]

Ist es überhaupt zulässig das ich jetzt z.B. die erste Zeile durch 7 teile und die anderen beiden durch 3 ?

Und wo soll denn jetzt die frei wählbare Variable hin?

Vielen Dank für eure Hilfe ;)


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Lösbar oder nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 05.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo steem,

> Nun sieht es so aus! Am Anfang nur 1sen hinzukriegen geht
> nicht ohne das man im Rest Brüche in Kauf nimmt. Ich weiß
> nun nicht, wie zwingend es ist, das am Anfang nur 1sen
> stehen?!

Nein, Hauptsache, du hast die [mm] $\triangle$-Form [/mm]

>  
> [mm]\pmat{ 7 & 0 & 0 & 12 & 55\\ 0 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -4}[/mm]
>  
> Ist es überhaupt zulässig das ich jetzt z.B. die erste
> Zeile durch 7 teile und die anderen beiden durch 3 ?

Ja, du darfst Zeilen mit Skalaren (Zahlen) [mm] $\neq [/mm] 0$ multiplizieren, ohne dass du die Lösungsgesamtheit veränderst

>
> Und wo soll denn jetzt die frei wählbare Variable hin?

Ich komme, wenn ich das 2-fache der 1.Zeile zur 2.Zeile addiere und die 2.Zeile zur 3.Zeile addiere, anschließend die "neue" 3.Zeile mit [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] multipliziere auf


[mm] $\pmat{ 1 & 3 & 5 & 1 & | & 5\\ 0 & 2 & 7 & -1 & | & -4 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & | & -4}$ [/mm]

Aber wie dem auch sei, wir haben beide nun eine Dreiecksform:

In der letzten Zeile steht ja (wieder als Gleichung umgeschrieben):

[mm] $0\cdot{}x_1+0\cdot{}x_2+3\cdot{}x_3-1\cdot{}x_4=-4$, [/mm] also [mm] $3x_3-x_4=-4$ [/mm]

Hier hast du deine freie Variable, setzt [mm] $x_4=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$, [/mm] so ist [mm] $3x_3=-4+t\Rightarrow x_3=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}t$ [/mm]

Weiteres Rückwärtseinsetzen gibt dir die Lösungen für [mm] $x_2, x_1$ [/mm] ...

>
> Vielen Dank für eure Hilfe ;)
>  


LG

schachuzipus

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Lösbar oder nicht?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 So 05.10.2008
Autor: steem

Vielen Dank!

Jetzt hab ich das verstanden! Dein Ergebnis

[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 & 1 & | & 5\\ 0 & 2 & 7 & -1 & | & -4 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & | & -4} [/mm]

Hatte ich ganz am Anfang schonmal, aber ich dachte es ist notwendig, dass in der 3x3 Matrix nur noch in der Diagonalen Zahlen stehen.
So wie hier

[mm] \pmat{ 7 & 0 & 0 & 12 & 55\\ 0 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -4} [/mm]

Wenn das natürlich nicht nötig ist, ist das ja umso besser ;)


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Lösbar oder nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 So 05.10.2008
Autor: MathePower

Hallo steem,

> Ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe.  Aber
> ich hab das jetzt einfach mal so gemacht wie ich es
> verstanden hab!
>  
> Ich habe mir aus diesem System
>   [mm]\pmat{ 1 & 3 & 5 & 1\\ -2 & -4 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 1}\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 5\\ -14 \\ 6 }[/mm]
>
> folgende 3x3 Matrix rausgesucht
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 5 \\ -2 & -4 & -3 \\ 2 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> und diese in die Form
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> Gebracht. Jetzt habe ich ja vom Anfang noch was über, da
> ich nicht wusste was man damit macht, hab ich das einfach
> drangehängt und mein derzeitiger Stand sieht so aus:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }\pmat{ 1t \\ -3t \\ 1t }=$ \pmat{ 5 \\ -14 \\ 6}[/mm]
>  
> Irgendwie beschleicht mich das Gefühl, dass ich mich damit
> auf Abwegen befinde :)
>


Siehe dazu den Post von Merle23


Gruß
MathePower  


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