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| Aufgabe | Für welche k [mm] \in \IR [/mm] ist folgendes lineare Gleichungssystem lösbar?
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 7
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = k
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0 |
Ich habe demnächst eine Matheklausur zu schreiben, und erwarte daß eine Aufgabe des aufgeführten Typs enthalten sein könnte. Leider habe ich kaum eine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen könnte und erbitte somit freundlichst um eure Hilfe :).
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Hallo DH,
stelle doch mal die zugehörige (erweiterte) Koeffizientenmatrix auf und bringe sie in Zeilenstufenform.
Daran solltest du dann die Bedingung(en) für k ablesen können.
Gruß
schachuzipus
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> Für welche k [mm]\in \IR[/mm] ist folgendes lineare Gleichungssystem
> lösbar?
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> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 7
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]3x_{3}[/mm] = k
> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0
> Ich habe demnächst eine Matheklausur zu schreiben, und
> erwarte daß eine Aufgabe des aufgeführten Typs enthalten
> sein könnte. Leider habe ich kaum eine Ahnung wie ich an
> die Aufgabe rangehen könnte und erbitte somit freundlichst
> um eure Hilfe :).
Neben dem Lösungsweg man Dir schon empfohlen hat noch dieser: das System sieht eigentlich auf den ersten Blick regulär aus. Aufgrund dieses Verdachtes (und der Tatsache, dass man nur die Anzahl Lösungen kennen muss) könnte man auch versucht sein, die Determinante der Koeffizientenmatrix zu berechnen:
[mm]\det\pmat{3 & 2 & 2\\1 & 1 & 3\\3 & 0 & 1}=13[/mm]
Da die Determinante, wie sich zeigt, [mm]\neq 0[/mm] ist, ist das System in der Tat regulär, hat also stets genau eine Lösung (unabhängig vom Wert von [mm]k[/mm]).
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Danke Somebody, diesen Verdacht hatte ich auch schon, allerdings kam mir das zu simpel vor.
Auch einen Dank an schachuzipus für seinen Lösungsvorschlag - allerdings weiß ich garnicht wie man die Zeilenstufenform bildet (lol).
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