Lösbarkeit eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei Ax = b ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten, A [mm] \in [/mm] M [mm] (m\*n, \IZ). [/mm]
Was ist richtig?
A) Das LGS hat stets Lösungen in [mm] \IQ^n [/mm] für n > m .
B) Das LGS hat stets keine oder genau eine Lösung in [mm] \IQ^n [/mm] .
C) Hat das LSG eine Lösung in [mm] \IQ^n [/mm] so stets auch in [mm] \IZ^n.
[/mm]
D) Ist n = m , so hat das LSG stets eine Lösung in [mm] \IQ^n [/mm] .
E) Ist Rang (A) = m, so ist das LSG stets in [mm] \IQ^n [/mm] lösbar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß irgendwie gar nicht so richtig, wie ich das ganze angehen soll. Alles was ich weiß, ist dass Rang A = Rang A, b = n sein muss, damit ein inhomogenes LGS eindeutig lösbar ist. Wenn Rang A = m ist die zugehörige Abbildung surjektiv, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen. Aber nicht zwingend in [mm] \IQ^n [/mm] oder? Ich meine trotz Matrix mit ganzzahligen Einträgen, kann die Lösung doch reel oder sogar komplex sein oder? Hmm.. Dazu weiter unten noch ne Idee..
Und naja, klar, wenn mehr Unbekannte als Gleichungen vorkommen (A) , kann ich eine Unbekannte frei wählen, das heißt das GLS ist immer lösbar, oder?. Mich irritiert jedoch die Angabe in [mm] \IQ^n [/mm] das weiß ich irgendwie nicht so genau.
B würde ich sagen ist falsch, da eben keine Aussage über m oder n getroffen wird und die Abbildung so auch surjektiv sein kann.
D stimmt auch nicht, denn nur weil die Anzahl der Gleichungen und der Variablen übereinstimmt, heißt das nicht, dass nicht eine unwahre Aussage bei einer Gleichung auftaucht, das 'b' wird ja nicht mitbetrachtet.
C ist auch falsch, weil ja nicht jede rationale Lösung auch eine ganzzahlige Lösung ist, somit muss das zumindest nicht so sein .
Und bei E habe ich wieder das Problem wie bei A,wobei da durch unendliche viele Lösungen wohl auch rationale Lösungen bei sein müssten, richtig?
Wäre nett, wenn mir jemand bei meiner Schwierigkeit mit der jeweiligen Körperangabe helfen könnte...
Vielen Dank,
lg
Julia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 13.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Julia,
> Es sei Ax = b ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten,
> A [mm]\in[/mm] M [mm](m\*n, \IZ).[/mm]
> Was ist richtig?
>
> A) Das LGS hat stets Lösungen in [mm]\IQ^n[/mm] für n > m .
> B) Das LGS hat stets keine oder genau eine Lösung in [mm]\IQ^n[/mm]
> .
> C) Hat das LSG eine Lösung in [mm]\IQ^n[/mm] so stets auch in
> [mm]\IZ^n.[/mm]
> D) Ist n = m , so hat das LSG stets eine Lösung in [mm]\IQ^n[/mm]
> .
> E) Ist Rang (A) = m, so ist das LSG stets in [mm]\IQ^n[/mm]
> lösbar.
> Wenn Rang A = m ist die zugehörige Abbildung surjektiv,
ja.
> d.h. es gibt unendlich viele Lösungen.
nein. Nur die Existenz einer Lösung ist damit gesichert.
> Aber
> nicht zwingend in [mm]\IQ^n[/mm] oder? Ich meine trotz Matrix mit
> ganzzahligen Einträgen, kann die Lösung doch reel oder
> sogar komplex sein oder?
Nein. Überlege: Bei der Lösung eines LGS verwendest du nur die 4 Grundrechenarten. Und die führen aus dem Körper [mm] $\IQ$ [/mm] nicht heraus.
> Hmm.. Dazu weiter unten noch ne
> Idee..
> Und naja, klar, wenn mehr Unbekannte als Gleichungen
> vorkommen (A) , kann ich eine Unbekannte frei wählen, das
> heißt das GLS ist immer lösbar, oder?.
Nein. Gegenbeispiel:
3x + 4y + 5z = 7
3x + 4y + 5z = 8
hat offensichtlich keine Lösungen.
> Mich irritiert
> jedoch die Angabe in [mm]\IQ^n[/mm] das weiß ich irgendwie nicht so
> genau.
Das ist die Menge aller n-Tupel (d.h. geordnete Zusammenfassungen (sog. Familien) von Zahlen) wobei jede der Zahlen aus [mm] $\IQ$ [/mm] ist.
> B würde ich sagen ist falsch, da eben keine Aussage über m
> oder n getroffen wird und die Abbildung so auch surjektiv
> sein kann.
Das würde noch nicht unbedingt etwas ändern, siehe oben, aber offenbar gibt es LGS mit unendlich vielen Lösungen.
Beispiel:
3x + 4y = 5 ist ein LGS bestehend aus 1 Gleichung mit 2 Variablen. Die Lösungsmenge bildet anschaulich eine Gerade im [mm] $\IR^2$.
[/mm]
> D stimmt auch nicht, denn nur weil die Anzahl der
> Gleichungen und der Variablen übereinstimmt, heißt das
> nicht, dass nicht eine unwahre Aussage bei einer Gleichung
> auftaucht, das 'b' wird ja nicht mitbetrachtet.
ja, siehe mein Gegenbeispiel oben.
> C ist auch falsch, weil ja nicht jede rationale Lösung auch
> eine ganzzahlige Lösung ist, somit muss das zumindest nicht
> so sein .
ja, und es gibt eben LGS mit genau einer Lsg., die nicht ganzzahlig ist.
> Und bei E habe ich wieder das Problem wie bei A,wobei da
> durch unendliche viele Lösungen wohl auch rationale
> Lösungen bei sein müssten, richtig?
Wie oben ausgeführt liegen stets alle Lösungen eines LGS mit rationalen Koeffizienten und rationalem Ergebnisvektor immer vollständig in [mm] $\IQ^n$. [/mm] Da die Existenz einer Lösung durch die Surjektivität gesichert ist, ist die Aussage wahr.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | > Es sei Ax = b ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten,
> A $ [mm] \in [/mm] $ M $ (m*n, [mm] \IZ). [/mm] $
> Was ist richtig?
>
> A) Das LGS hat stets Lösungen in $ [mm] \IQ^n [/mm] $ für n > m .
> B) Das LGS hat stets keine oder genau eine Lösung in $ [mm] \IQ^n [/mm] $
> .
> C) Hat das LSG eine Lösung in $ [mm] \IQ^n [/mm] $ so stets auch in
> $ [mm] \IZ^n. [/mm] $
> D) Ist n = m , so hat das LSG stets eine Lösung in $ [mm] \IQ^n [/mm] $
> .
> E) Ist Rang (A) = m, so ist das LSG stets in $ [mm] \IQ^n [/mm] $
> lösbar. |
Hmmm.. wir haben aber schon gelernt, dass Rang A = m eben doch gleichwertig mit der Aussage ist, dass das LGLS universell lösbar ist.
Rang A = Rang A,b = n impliziert die Existenz einer Lösung.
Oder was meinst du mit deinem Einwand genau?
Noch eine Frage: Die Matrix beinhaltet ja GANZZAHLIGE Einträge, also klar, damit auch rationale, aber wie kann das LGS dann eine Lösung in [mm] \IQ^n [/mm] haben, welche nicht in [mm] \IZ^n [/mm] liegt? Das würde doch deiner Argumentation widersprechen, dass eben die Grundrechenarten nicht aus einem Körper herausführen? Oder woher weiß ich, dass mein x und mein b von Ax = b rational sind? Falls du das meintest?
Danke :)
Lg, Julia
|
|
|
| |
|
> > Es sei Ax = b ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten,
> > A [mm]\in[/mm] M [mm](m*n, \IZ).[/mm]
> > Was ist richtig?
> >
> > A) Das LGS hat stets Lösungen in [mm]\IQ^n[/mm] für n > m .
> > B) Das LGS hat stets keine oder genau eine Lösung in
> [mm]\IQ^n[/mm]
> > .
> > C) Hat das LSG eine Lösung in [mm]\IQ^n[/mm] so stets auch in
> > [mm]\IZ^n.[/mm]
> > D) Ist n = m , so hat das LSG stets eine Lösung in
> [mm]\IQ^n[/mm]
> > .
> > E) Ist Rang (A) = m, so ist das LSG stets in [mm]\IQ^n[/mm]
> > lösbar.
Hallo,
das Antworten ist etwas mühsam, weil Du die Aussagen von koepper, auf die Du Dich beziehst, nicht zitierst.
Ich versuch's trotzdem.
Im folgenden scheinst Du Dich darauf zu beziehen, daß koepper sagt, daß ein GS wie oben mit Rang A = m nicht unendlich viele Lösungen hat.
> Hmmm.. wir haben aber schon gelernt, dass Rang A = m eben
> doch gleichwertig mit der Aussage ist, dass das LGLS
> universell lösbar ist.
Das habt Ihr richtig gelernt.
Was bedeutet denn "universell lösbar"? Daß es für jedes b eine Lösung gibt - aber davon, daß es mehr als eine gibt, ist nicht die Rede.
> Rang A = Rang A,b = n impliziert die Existenz einer
> Lösung.
Ja.
In diesem Fall stehen Leerzeilen in der umgefomten Matrix A Nullen im Vektor gegenüber, also gibt es eine Lösung.
Stünde einer Leerzeile z.B. die 5 gegenüber, gäbe es keine Lsg. In diesem Falle wäre Rang A [mm] \not= [/mm] Rang A,b.
> Oder was meinst du mit deinem Einwand genau?
> Noch eine Frage: Die Matrix
Welche?
> beinhaltet ja GANZZAHLIGE
> Einträge, also klar, damit auch rationale, aber wie kann
> das LGS dann eine Lösung in [mm]\IQ^n[/mm] haben, welche nicht in
> [mm]\IZ^n[/mm] liegt? Das würde doch deiner Argumentation
> widersprechen, dass eben die Grundrechenarten nicht aus
> einem Körper herausführen?
[mm] \IZ [/mm] ist kein Körper.
> Oder woher weiß ich, dass mein x
> und mein b von Ax = b rational sind?
Das b ist ja vorgegeben. In der Tat schreibst Du in der Aufgabenstellung gar nichts über b. Falls es in b Komponenten gibt, welche irrational sind, ist natürlich die Lösung x nicht zwingend rational.
Eine gewisse Lebenserfahrung sagt mir, daß in der originalen Aufgabenstellung irgendwo steht [mm] b\in \IZ^n...
[/mm]
Und in diesem Fall gilt, was koepper sagt: Du verwendest nur die vier Grundrechenarten, kommst also aus [mm] \IQ [/mm] (!) nicht heraus.
Um in [mm] \IZ [/mm] zu bleiben, müßte man schon etwas Glück haben. Möglich ist's, das zeigen die vielen "netten" Gleichungssysteme, die man im Laufe der Schulzeit gerechnet hat - und die man freundlicherweise auch oft an der Uni bekommt.
Gruß v. Angela
Falls du das
> meintest?
> Danke :)
>
> Lg, Julia
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | > > Es sei Ax = b ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten,
> > A [mm] \in [/mm] M [mm] (m\*n, \IZ)
[/mm]
> > Was ist richtig?
> >
> > A) Das LGS hat stets Lösungen in für n > m .
> > B) Das LGS hat stets keine oder genau eine Lösung in
>
> > .
> > C) Hat das LSG eine Lösung in so stets auch in
> >
> > D) Ist n = m , so hat das LSG stets eine Lösung in
>
> > .
> > E) Ist Rang (A) = m, so ist das LSG stets in
> > lösbar.
|
Zitat Angela : "Das b ist ja vorgegeben. In der Tat schreibst Du in der Aufgabenstellung gar nichts über b. Falls es in b Komponenten gibt, welche irrational sind, ist natürlich die Lösung x nicht zwingend rational.
Eine gewisse Lebenserfahrung sagt mir, daß in der originalen Aufgabenstellung irgendwo steht "
---> Nein, leider nicht. Die Aufgabestellung ist wortwörtlich aus einer vorliegenden Klausur übernommen, war eben eine Aufgabe aus dem Multiple-Choice-Teil und ich hatte die Aufgabe falsch; Lösungen kenne ich also nicht. Kann ich jetzt dennoch einfach davon ausgehen, dass das b eben ein Element aus [mm] \IZ [/mm] ist? Stimmt natürlich, dass [mm] \IZ [/mm] kein Körper ist, fehlt ja das inverse Element bezüglich der Multiplikation. ..
*ups*
|
|
|
| |
|
> > > Es sei Ax = b ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten,
> > > A [mm]\in[/mm] M [mm](m\*n, \IZ)[/mm]
>
> > > Was ist richtig?
>
> > >
> > > A) Das LGS hat stets Lösungen in für n > m .
>
> > > B) Das LGS hat stets keine oder genau eine Lösung in
> >
> > > .
>
> > > C) Hat das LSG eine Lösung in so stets auch in
> > >
>
> > > D) Ist n = m , so hat das LSG stets eine Lösung in
> >
> > > .
>
> > > E) Ist Rang (A) = m, so ist das LSG stets in
> > > lösbar.
>
>
> Zitat Angela : "Das b ist ja vorgegeben. In der Tat
> schreibst Du in der Aufgabenstellung gar nichts über b.
> Falls es in b Komponenten gibt, welche irrational sind, ist
> natürlich die Lösung x nicht zwingend rational.
> Eine gewisse Lebenserfahrung sagt mir, daß in der
> originalen Aufgabenstellung irgendwo steht "
>
> ---> Nein, leider nicht. Die Aufgabestellung ist
> wortwörtlich aus einer vorliegenden Klausur übernommen,
Hallo,
WENN dort wirklich nichts steht, ist das eine echte Panne.
>
> Kann ich jetzt dennoch einfach davon ausgehen, dass das b
> eben ein Element aus [mm]\IZ[/mm] ist?
Naja, aus [mm] \IZ [/mm] ganz gewiß nicht...
Aber die Aufgabenstellung deutet daraufhin, daß b ein Spaltenvektor mit Einträgen aus [mm] \IZ [/mm] ist, also [mm] b\in \IZ^n. [/mm] C) wäre ja sonst sinnlos.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mo 15.10.2007 | | Autor: | BieneJulia |
okay vielen dank. lg,
Julia
|
|
|
|
