Löse die Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi,
Ich habe folgende Aufgabe:
Man bestimme die Zahlen [mm] a_0,...,a_4, [/mm] sodass die Gleichung
[mm] sin(x)^4 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] cos(x) + [mm] a_2 [/mm] cos(2x) + [mm] a_3 [/mm] cos(3x) + [mm] a_4 [/mm] cos(4x)
für alle x [mm] \in \IR [/mm] erfüllt ist.
mfg |
Also ich hätte einfach mit den Additionstheoreme angefangen
$cos(2x) = [mm] cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2$
[/mm]
$cos(3x) = [mm] cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) [mm] sin(x)^2 [/mm] $
$cos(4x) = [mm] cos(x)^4 [/mm] - 2 [mm] cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 [/mm] - 4 sin(x) cos(x)$
Dies wiederum eingestz in meine Gleichung ergibt
[mm] sin(x)^4 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] cos(x) + [mm] a_2 (cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2) [/mm] + [mm] a_3 (cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) [mm] sin(x)^2) [/mm] + [mm] a_4 (cos(x)^4 [/mm] - 2 [mm] cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 [/mm] - 4 sin(x) cos(x))
Jetzt weis ich nicht genau, wie ich weiter vorzugehen habe. Da in der Angabe nur "Zahlen" steht. Soll ich nun Werte einsetzen, damit die Gleichung stimmt?
Das wäre aber dann einfach, da ich einfach
[mm] a_0 [/mm] = [mm] sin(x)^4
[/mm]
[mm] a_1=..=a_4 [/mm] = 0
wähle stimmt die Gleichung
Danke euch
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Hallo steffen2361,
> Hi,
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> Ich habe folgende Aufgabe:
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> Man bestimme die Zahlen [mm]a_0,...,a_4,[/mm] sodass die Gleichung
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> [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2[/mm] cos(2x) + [mm]a_3[/mm] cos(3x) +
> [mm]a_4[/mm] cos(4x)
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> für alle x [mm]\in \IR[/mm] erfüllt ist.
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> mfg
> Also ich hätte einfach mit den Additionstheoreme
> angefangen
>
> [mm]cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2[/mm]
> [mm]cos(3x) = cos(x)^3 - 3cos(x) sin(x)^2[/mm]
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> [mm]cos(4x) = cos(x)^4 - 2 cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 - 4 sin(x) cos(x)[/mm]
>
[mm]\cos\left(4x\right)=cos(x)^4 - 2 cos(x)^{\red{2}} sin(x)^{\red{2}} +sin(x)^4 - 4 sin(x)^{\red{2}} cos(x)^{\red{2}[/mm]
> Dies wiederum eingestz in meine Gleichung ergibt
>
> [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2 (cos(x)^2[/mm] - [mm]sin(x)^2)[/mm] +
> [mm]a_3 (cos(x)^3[/mm] - 3cos(x) [mm]sin(x)^2)[/mm] + [mm]a_4 (cos(x)^4[/mm] - 2
> [mm]cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4[/mm] - 4 sin(x) cos(x))
>
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> Jetzt weis ich nicht genau, wie ich weiter vorzugehen habe.
> Da in der Angabe nur "Zahlen" steht. Soll ich nun Werte
> einsetzen, damit die Gleichung stimmt?
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> Das wäre aber dann einfach, da ich einfach
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> [mm]a_0[/mm] = [mm]sin(x)^4[/mm]
> [mm]a_1=..=a_4[/mm] = 0
>
> wähle stimmt die Gleichung
>
Ersetze [mm]\sin\left(x\right)^{2}=1-\cos\left(x\right)^{2}[/mm]
> Danke euch
>
Gruss
MathePower
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> Hallo steffen2361,
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> > Hi,
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> > Ich habe folgende Aufgabe:
> >
> > Man bestimme die Zahlen [mm]a_0,...,a_4,[/mm] sodass die Gleichung
> >
> > [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2[/mm] cos(2x) + [mm]a_3[/mm] cos(3x) +
> > [mm]a_4[/mm] cos(4x)
> >
> > für alle x [mm]\in \IR[/mm] erfüllt ist.
> >
> > mfg
> > Also ich hätte einfach mit den Additionstheoreme
> > angefangen
> >
> > [mm]cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2[/mm]
> > [mm]cos(3x) = cos(x)^3 - 3cos(x) sin(x)^2[/mm]
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> >
> > [mm]cos(4x) = cos(x)^4 - 2 cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 - 4 sin(x) cos(x)[/mm]
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> [mm]\cos\left(4x\right)=cos(x)^4 - 2 cos(x)^{\red{2}} sin(x)^{\red{2}} +sin(x)^4 - 4 sin(x)^{\red{2}} cos(x)^{\red{2}[/mm]
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ach richtig....
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> > Dies wiederum eingestz in meine Gleichung ergibt
> >
> > [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2 (cos(x)^2[/mm] - [mm]sin(x)^2)[/mm] +
> > [mm]a_3 (cos(x)^3[/mm] - 3cos(x) [mm]sin(x)^2)[/mm] + [mm]a_4 (cos(x)^4[/mm] - 2
> > [mm]cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4[/mm] - 4 sin(x) cos(x))
> >
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> > Jetzt weis ich nicht genau, wie ich weiter vorzugehen habe.
> > Da in der Angabe nur "Zahlen" steht. Soll ich nun Werte
> > einsetzen, damit die Gleichung stimmt?
> >
> > Das wäre aber dann einfach, da ich einfach
> >
> > [mm]a_0[/mm] = [mm]sin(x)^4[/mm]
> > [mm]a_1=..=a_4[/mm] = 0
> >
> > wähle stimmt die Gleichung
> >
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> Ersetze [mm]\sin\left(x\right)^{2}=1-\cos\left(x\right)^{2}[/mm]
>
Gesagt getan:
[mm]cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = cos(x)^2 +1 - cos(x)^2) = 1 [/mm]
$ cos(3x) = [mm] cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) [mm] sin(x)^2 =cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) (1 - [mm] cos(x)^2) [/mm] = [mm] cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) + 3 [mm] cos(x)^3 [/mm] = -3cos(x) + [mm] 4cos(x)^3 [/mm] $
$ [mm] \cos\left(4x\right)=cos(x)^4 [/mm] - 2 [mm] cos(x)^{\red{2}} sin(x)^{\red{2}} +sin(x)^4 [/mm] - 4 [mm] sin(x)^{\red{2}} cos(x)^2 [/mm] = [mm] cos(x)^4 [/mm] - [mm] 2cos(x)^2 +2cos(x)^4 [/mm] - [mm] 1-2cos(x)^2+cos(x)^4 [/mm] - [mm] 4cos(x)^2 [/mm] + [mm] 4cos(x)^4 [/mm] = [mm] 8cos(x)^4 -8cos(x)^2 [/mm] - 1$
Nun wieder eingesetzt falls ich mich nicht wieder wo verrechnet habe:
1- [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] cos(x)^4 [/mm] = [mm] a_0 +a_1 [/mm] cos(x) + [mm] a_2 [/mm] (1) [mm] +a_3 [/mm] (-3cos(x) + [mm] 4cos(x)^3) +a_4 (8cos(x)^4 -8cos(x)^2 [/mm] - 1)
Aber ich bekomme den Term von [mm] a_3 [/mm] nicht weg....
> > Danke euch
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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hallo,
cos(2x) ist doch nicht 1?!
da hast du einen vorzeichenfehler
gruß tee
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> hallo,
> cos(2x) ist doch nicht 1?!
> da hast du einen vorzeichenfehler
>
ach richtig :)
$ cos(2x) = [mm] cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2 [/mm] = [mm] cos(x)^2 [/mm] +1 - [mm] cos(x)^2) [/mm] = [mm] 2cos(x)^2-1 [/mm] $
Zurück zur Formel
$1- $ [mm] cos(x)^2 [/mm] $ + $ [mm] cos(x)^4 [/mm] $ = [mm] a_0 +a_1 [/mm] $ cos(x) + $ [mm] a_2 [/mm] $ [mm] (2cos(x)^2-1) [/mm] $ [mm] +a_3 [/mm] $ (-3cos(x) + $ [mm] 4cos(x)^3) +a_4 (8cos(x)^4 -8cos(x)^2 [/mm] $ - 1)
So und für
[mm] a_4 [/mm] = 1/8
[mm] a_0 [/mm] = 9/8
und [mm] a_1 =a_2 =a_3 [/mm] =0
Stimmt also, wenn mich jetzt nicht alles täuscht
Jetzt muss ich also noch zeigen, dass
[mm] sin(x)^2 [/mm] = 1 - [mm] cos(x)^2
[/mm]
Ich forme um
[mm] sin(x)^2 +cos(x)^2 [/mm] =1
Nun bilde ich die Funktion und leite ab
f'(x) = 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) =0
Somit gilt das Konstanzkriterium
f(x) = k für k [mm] \in \IR
[/mm]
Somit ist wähle ich x= [mm] \pi/2
[/mm]
[mm] f(\pi/2) [/mm] = [mm] \underbrace{sin(\pi/2)^2}_{1} [/mm] + [mm] \underbrace{cos(\pi/2)^2}_{0} [/mm] =1
Was sagt ihr dazu?
danke euch :)
> gruß tee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jetzt muss ich also noch zeigen, dass
>
> [mm]sin(x)^2[/mm] = 1 - [mm]cos(x)^2[/mm]
>
> Ich forme um
>
> [mm]sin(x)^2 +cos(x)^2[/mm] =1
das mit der Ableitung etc. sollte auch funktionieren. Aber da steht doch eine altebekannte Formel:
Der trigonometrische Pythagoras.
Der heißt so, weil das einfach nur die Anwendung des Satzes des Pythagoras am Einheitskreis ist!
Wenn Du diese geometrische Tatsache aber nichtgeometrisch begründen willst, kann man das schon auch "analytisch" machen...
Gruß,
Marcel
> Nun bilde ich die Funktion
Welche denn? Sicher [mm] $f(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)\,,$ [/mm] $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
> und leite ab
>
> f'(x) = 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) =0
>
> Somit gilt das Konstanzkriterium
>
> f(x) = k für
mit einem
> k [mm]\in \IR[/mm]
>
> Somit ist wähle ich x= [mm]\pi/2[/mm]
>
> [mm]f(\pi/2)[/mm] = [mm]\underbrace{sin(\pi/2)^2}_{1}[/mm] +
> [mm]\underbrace{cos(\pi/2)^2}_{0}[/mm] =1
Daraus folgt $f(x)=k=1$ für alle [mm] $x\,.$
[/mm]
> Was sagt ihr dazu?
Alles okay, soweit alles, was Du benutzt, auch benutzt werden darf:
1.) Kettenregel (oder alternativ: Produktregel)
2.) [mm] $\sin'=\cos$
[/mm]
3.) [mm] $\cos'=-\sin$
[/mm]
> danke euch :)
> > gruß tee
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