Lösen durch Variablentrennung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | | Löse folgende Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: y' = 2* [mm] \bruch{y}{x} [/mm] |
Dieses Übungsbsp.habe ich bekommen und soll es lösen. Leider hab ich so was noch nie gesehen oder gelöst.
Wäre da jemand so nett und würde mir weiterhelfen durch einen Denkanstoß oder so?
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Hallo Laura_88,
> Löse folgende Differentialgleichung durch Trennung der
> Variablen: y' = 2* [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
> Dieses Übungsbsp.habe ich bekommen und soll es lösen.
> Leider hab ich so was noch nie gesehen oder gelöst.
Dann solltest du schleunigst in deiner Vorlesungsmitschrift, einem Buch oder auf wikipedia nachschauen, wie "Trennung der Variablen" funktioniert!
Also wirklich!
Es ist [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm]
Du kannst hier für [mm]y\not\equiv 0[/mm], also [mm]y(x)\neq 0\forall x\in\IR[/mm] durch y teilen und bekommst
[mm]\frac{1}{y} \ \frac{dy}{dx} \ = \ \frac{2}{x}[/mm]
Mithin [mm]\frac{1}{y} \ dy \ = \ \frac{2}{x} \ dx[/mm]
Nun beiderseits Integrieren und nach [mm]y=y(x)[/mm] auflösen.
Beachte, dass wir das zu Beginn die "Trennung" nur für [mm]y\not\equiv 0[/mm] machen durften, und dass du aber mit [mm]y\equiv 0[/mm] natürlich auch eine Lösung hast.
Ist dir klar, wieso?
>
>
> Wäre da jemand so nett und würde mir weiterhelfen durch
> einen Denkanstoß oder so?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
> Du kannst hier für [mm]y\not\equiv 0[/mm], also [mm]y(x)\neq 0\forall x\in\IR[/mm]
> durch y teilen und bekommst
>
kannst du mir diese Zeile in Worten hinschreiben da ich da einige Zeichen nicht kenne?
ich hab mir das auf wikipedia angesehen da ich dazu weder etwas in meinen Heften oder Büchern habe. Aber irgendwie versteh ich das nicht wirklich! kannst du mir das noch etwas besser erklären?
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> > Du kannst hier für [mm]y\not\equiv 0[/mm], also [mm]y(x)\neq 0\forall x\in\IR[/mm]
> > durch y teilen und bekommst
> >
>
> kannst du mir diese Zeile in Worten hinschreiben da ich da
> einige Zeichen nicht kenne?
[mm]y\equiv 0[/mm] heißt: die Funktion y ordnet jedem Element die Null zu. Oder einfacher macht alles zu Null.
[mm]y\not\equiv 0[/mm] ist das Gegenteil, also [mm]y(x)\neq 0\forall x\in\IR[/mm]: y(x) ist ungleich Null für alle reellen Zahlen x.
>
> ich hab mir das auf wikipedia angesehen da ich dazu weder
> etwas in meinen Heften oder Büchern habe. Aber irgendwie
> versteh ich das nicht wirklich! kannst du mir das noch
> etwas besser erklären?
![[]](/images/popup.gif) Trennung der Variablen einfacher kann man es nicht erklären
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich hab das jetzt mal nach der Anleitung probiert:
y' [mm] \bruch{2x}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] + [mm] \bruch{2x}{y} [/mm] / *dx /*y
y*dy + 2x*dx
[mm] {\integral y*dy} [/mm] + [mm] {\integral 2x*dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*y^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*2x^2 [/mm] +c /*2
[mm] y^2 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] +2c
y = [mm] \wurzel{-2x^2 -2c}
[/mm]
so jetzt würde mich interessieren ob das stimmt oder wo ich noch mal ansetzen muss.
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Hallo nochmal,
in deiner Rechnung steht nicht ein "=". Erst ganz am Schluss taucht es auf: [mm]y=...[/mm]
Das ist totaler Kokolores. Was sollen die Zeilen bedeuten?
Was schreibst du da warum auf?
Das ist nicht nachzuvollziehen!
Offenbar hast du überhaupt gar nicht gelesen, was ich in der ersten Antwort geschrieben habe, das ist schon sehr enttäuschend.
Vllt. sollte ich es vorsingen ...
Mensch ...
Die Dgl. lautet [mm]y'=2\frac{y}{x} \ \ (\star)[/mm]
Zunächst nochmal die Anmerkung: wenn y die Nullfunktion ist, also [mm]y:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm], so ist y offensichtlich Lösung der Dgl. [mm](\star)[/mm]
Und nochmal die Frage an dich: siehst du das?
So nun sei im weitern [mm]y\neq 0[/mm]
Dann darfst du in [mm](\star)[/mm] auf beiden Seiten durch y teilen und erhältst:
[mm]\frac{1}{y} \ y' \ = \ \frac{2}{x}[/mm]
Nun hatte ich auch schon geschrieben, dass [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm] ist, du kannst also weiter schreiben
[mm]\frac{1}{y} \ \frac{dy}{dx} \ = \ \frac{2}{x}[/mm]
Nun auf beiden Seiten [mm]\cdot{}dx[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ dy \ = \ \frac{2}{x} \ dx[/mm]
Soweit hatte ich dir das vorgekaut und gesagt, du mögest nun auf beiden Seiten integrieren:
Also [mm]\int{\frac{1}{y} \dy} \ = \ \int{\frac{2}{x} \ dx}[/mm]
Mithin [mm]\ln(|y|) = \ 2\ln(|x|)+c[/mm] mit einer Integrationskonstanten [mm]c\in\IR[/mm]
Nun löse dies nach [mm]y[/mm] auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
> Die Dgl. lautet [mm]y'=2\frac{y}{x} \ \ (\star)[/mm]
>
> Zunächst nochmal die Anmerkung: wenn y die Nullfunktion
> ist, also [mm]y:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm], so ist y offensichtlich
> Lösung der Dgl. [mm](\star)[/mm]
>
> Und nochmal die Frage an dich: siehst du das?
ich versteh das so wann x gegen null geht bleibt oben das y über aber es bleibt ja dann quasi y' = 2y. Warum ist das dann nur y. Würde ich das dann so schreiben y' = y oder nur die 1te lösung ist y?
>
> So nun sei im weitern [mm]y\neq 0[/mm]
>
> Dann darfst du in [mm](\star)[/mm] auf beiden Seiten durch y teilen
> und erhältst:
>
> [mm]\frac{1}{y} \ y' \ = \ \frac{2}{x}[/mm]
>
> Nun hatte ich auch schon geschrieben, dass
> [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm] ist, du kannst also weiter
> schreiben
>
> [mm]\frac{1}{y} \ \frac{dy}{dx} \ = \ \frac{2}{x}[/mm]
>
> Nun auf beiden Seiten [mm]\cdot{}dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ dy \ = \ \frac{2}{x} \ dx[/mm]
müsste da nicht dann
> [mm]\Rightarrow \frac{dx}{y} \ dy \ = \ \frac{2}{x} \ dx[/mm]
stehen?
>
> Soweit hatte ich dir das vorgekaut und gesagt, du mögest
> nun auf beiden Seiten integrieren:
>
> Also [mm]\int{\frac{1}{y} \dy} \ = \ \int{\frac{2}{x} \ dx}[/mm]
warum verschwindet da das dy und das dx nicht?
>
> Mithin [mm]\ln(|y|) = \ 2\ln(|x|)+c[/mm] mit einer
> Integrationskonstanten [mm]c\in\IR[/mm]
>
> Nun löse dies nach [mm]y[/mm] auf ...
bitte alle Fragen beantworten ich würd das alles sehr gerne verstehen!
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Hallo nochmal,
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> > Die Dgl. lautet [mm]y'=2\frac{y}{x} \ \ (\star)[/mm]
> >
> > Zunächst nochmal die Anmerkung: wenn y die Nullfunktion
> > ist, also [mm]y:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm], so ist y offensichtlich
> > Lösung der Dgl. [mm](\star)[/mm]
> >
> > Und nochmal die Frage an dich: siehst du das?
>
> ich versteh das so wann x gegen null geht bleibt oben das y
> über aber es bleibt ja dann quasi y' = 2y. Warum ist das
> dann nur y. Würde ich das dann so schreiben y' = y oder
> nur die 1te lösung ist y?
Da muss ich mich noch etwas korrigieren, für [mm]x=0[/mm] ist die Ausgangsdgl ja gar nicht definiert, also müsste man korrekt sagen:
Lösungen sind [mm]y_1:(-\infty,0)\to\IR, x\mapsto 0[/mm] und [mm]y_2:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
Für [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] ist doch [mm]y_1'=y_2'=0[/mm]
Also steht da: [mm]y_1'=\frac{2y_1(x)}{x}[/mm], also [mm]0=0[/mm]
Ebenso für [mm]y_2[/mm]
>
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> >
> > So nun sei im weitern [mm]y\neq 0[/mm]
> >
> > Dann darfst du in [mm](\star)[/mm] auf beiden Seiten durch y teilen
> > und erhältst:
> >
> > [mm]\frac{1}{y} \ y' \ = \ \frac{2}{x}[/mm]
> >
> > Nun hatte ich auch schon geschrieben, dass
> > [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm] ist, du kannst also weiter
> > schreiben
> >
> > [mm]\frac{1}{y} \ \frac{dy}{dx} \ = \ \frac{2}{x}[/mm]
> >
> > Nun auf beiden Seiten [mm]\cdot{}dx[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ dy \ = \ \frac{2}{x} \ dx[/mm]
>
>
> müsste da nicht dann
>
> > [mm]\Rightarrow \frac{dx}{y} \ dy \ = \ \frac{2}{x} \ dx[/mm]
Nein, linkerhand kürzt es sich doch gegen das dx aus [mm]\frac{dy}{dx}[/mm] weg, also bleibt dort [mm]\frac{1}{y} \ dy[/mm] oder anders geschrieben [mm]\frac{dy}{y}[/mm]
>
> stehen?
> >
> > Soweit hatte ich dir das vorgekaut und gesagt, du mögest
> > nun auf beiden Seiten integrieren:
> >
> > Also [mm]\int{\frac{1}{y} \dy} \ = \ \int{\frac{2}{x} \ dx}[/mm]
>
> warum verschwindet da das dy und das dx nicht?
Weil ich es verschlabbert habe 
Sorry, es muss natürlich dastehen, du integrierst linkerhand ja nach y!
> >
> > Mithin [mm]\ln(|y|) = \ 2\ln(|x|)+c[/mm] mit einer
> > Integrationskonstanten [mm]c\in\IR[/mm]
> >
> > Nun löse dies nach [mm]y[/mm] auf ...
>
> bitte alle Fragen beantworten ich würd das alles sehr
> gerne verstehen!
Das ist löblich, ich hoffe, ich konnte zu diesem Vorhaben etws beitragen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
> Da muss ich mich noch etwas korrigieren, für [mm]x=0[/mm] ist die
> Ausgangsdgl ja gar nicht definiert, also müsste man
> korrekt sagen:
>
> Lösungen sind [mm]y_1:(-\infty,0)\to\IR, x\mapsto 0[/mm] und
> [mm]y_2:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
>
> Für [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] ist doch [mm]y_1'=y_2'=0[/mm]
>
> Also steht da: [mm]y_1'=\frac{2y_1(x)}{x}[/mm], also [mm]0=0[/mm]
>
> Ebenso für [mm]y_2[/mm]
Das verwirrt mich jetzt noch mehr! Etwas konkreter: was ist überhaupt y1 und y2 ?
Und dann das : Lösungen sind $ [mm] y_1:(-\infty,0)\to\IR, x\mapsto [/mm] 0 $ und $ [mm] y_2:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto [/mm] 0 $
warum gilt das?
Für $ [mm] y_1 [/mm] $ und $ [mm] y_2 [/mm] $ ist doch $ [mm] y_1'=y_2'=0 [/mm] $
wie man dann weitergeht hab ich das gefühl das versteh ich halbwegs.
> > > Mithin [mm]\ln(|y|) = \ 2\ln(|x|)+c[/mm] mit einer
> > > Integrationskonstanten [mm]c\in\IR[/mm]
> > >
> > > Nun löse dies nach [mm]y[/mm] auf ...
auch wenn du mich warscheinlich jetzt für blöd hältst. Ich weiß nicht wie ich das auflösen kann :-(
bitte alles beantworten damit ich eine Chance habe das ganze zumindest halbwegs zu verstehen!
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Hallo nochmal,
> > Da muss ich mich noch etwas korrigieren, für [mm]x=0[/mm] ist die
> > Ausgangsdgl ja gar nicht definiert, also müsste man
> > korrekt sagen:
> >
> > Lösungen sind [mm]y_1:(-\infty,0)\to\IR, x\mapsto 0[/mm] und
> > [mm]y_2:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
> >
> > Für [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] ist doch [mm]y_1'=y_2'=0[/mm]
> >
> > Also steht da: [mm]y_1'=\frac{2y_1(x)}{x}[/mm], also [mm]0=0[/mm]
> >
> > Ebenso für [mm]y_2[/mm]
>
> Das verwirrt mich jetzt noch mehr! Etwas konkreter: was ist
> überhaupt y1 und y2 ?
Damit bezeichne ich verschiedene Lösungsfunktionen
> Und dann das : Lösungen sind [mm]y_1:(-\infty,0)\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
> und [mm]y_2:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
>
> warum gilt das?
Nun, für $x=0$ ist doch die Ausgangsdgl nicht definiert, rechterhand steht was mit [mm] $\frac{2}{x}$
[/mm]
Und eine Lösungsfunktion ist immer auf einem (zusammenhängenden Gebiet) ,einem Intervall (ohne "Löcher") definiert.
Lösen würde [mm] $y=\IR\setminus\{0\}\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ die Dgl. aber [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] ist kein zusammenhängendes Intervall.
Aber für die beiden Teilintervalle [mm] $-\infty,0)$ [/mm] und [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist die Nullfunktion eine Lösung ...
> Für [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] ist doch [mm]y_1'=y_2'=0[/mm]
>
> wie man dann weitergeht hab ich das gefühl das versteh ich
> halbwegs.
>
> > > > Mithin [mm]\ln(|y|) = \ 2\ln(|x|)+c[/mm] mit einer
> > > > Integrationskonstanten [mm]c\in\IR[/mm]
> > > >
> > > > Nun löse dies nach [mm]y[/mm] auf ...
>
> auch wenn du mich warscheinlich jetzt für blöd hältst.
> Ich weiß nicht wie ich das auflösen kann :-(
Beginne damit, auf beiden Seiten zu EDIT: AUTSCH entlogarithmieren ... (also [mm] e^{(...)}$ [/mm] nehmen)
Denke an die Potenzgesetze [mm] $e^{a+b}=e^{a}\cdot{}e^b$
[/mm]
Nun ist aber genug "verraten" 
Nun probiere mal ein bisschen rum und zeige was von deiner Rechnung ...
>
> bitte alles beantworten damit ich eine Chance habe das
> ganze zumindest halbwegs zu verstehen!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
damit du sehen kannst das ich eigentlich keine Ahnung habe und auf Hilfe angewiesen bin bei diesem Bsp.
du hast mir das so hingeschreiben :
ln(y) = 2 ln(x) + c
ich hab mir da so überlegt das zu lösen:
ln(y) - 2 ln(x) - c = 0
y -2x -c = 0
ich glaub die Variable c kann man weglassen ?
y = 2x
ich bezweifle das hier mal stark vor allem weil ich deinen Tipp hier gar nicht gebraucht habe!
Bitte um Hilfe!
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> damit du sehen kannst das ich eigentlich keine Ahnung habe
> und auf Hilfe angewiesen bin bei diesem Bsp.
>
> du hast mir das so hingeschreiben :
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> ln(y) = 2 ln(x) + c
die betragsstriche der log funktion solltest du nicht unter den tisch kehren ;)
also ln|y|=2ln|x|+c
nun will man nach y auflösen, wendet ergo die e funktion an
[mm] e^{ln|y|}=e^{2ln|x|+c}=(e^{ln|x|})^2*e^c
[/mm]
[mm] \Rightarrow |y|=|x|^2*e^c
[/mm]
links den betrag lösen wir mal durch [mm] \pm [/mm] auf und bringen ihn zum [mm] e^c (\pm e^c [/mm] kann alle werte annehmen, also taufen wir sie zu c' um; da ein quadrat eh immer positiv ist, kann man den betrag rechts auch noch weglassen) es ergibt sich also
[mm] y=|x|^2*c'=x^2*c'
[/mm]
>
> ich hab mir da so überlegt das zu lösen:
>
> ln(y) - 2 ln(x) - c = 0
>
> y -2x -c = 0
>
> ich glaub die Variable c kann man weglassen ?
>
> y = 2x
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> ich bezweifle das hier mal stark vor allem weil ich deinen
> Tipp hier gar nicht gebraucht habe!
>
> Bitte um Hilfe!
gruß tee
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Sorry, ich habe ein "ent" vergessen und soeben editiert!
Tut mir leid, dass ich dich auf die falsche Bahn gebracht habe, aber in der Zeile darunter, wo ich das Potenzgesetz für die Exponentialfkt. erwähnt habe, hättest du drauf kommen können ...
Du willst ja das [mm] $\ln$ [/mm] linkedhand loswerden, um $y$ zu isolieren ...
Nun gut, tee schreibt gerade ne Antwort, die warten wir mal ab ...
Gruß
schachuzipus
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