Lösen eine LDG 1.O < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 30.11.2004 | | Autor: | Chrisi |
Hallo und liebe Grüße an alle Mathe-Fans auf dieser Seite :)
Ich stecke bei einer Übung, die sehr wahrscheinlich am Freitag zur Mathe-SA kommt.
Am liebsten wäre mir natürlich, wenn es einer durchrechnen könnte, aber ich freue mich über jeden Lösungsansatz :)
y'=[mm]\bruch{1+x*y}{1-x²}[/mm]
ich habe die Angabe auf folgende Form gebracht und das Störglied =0 gesetzt:
[mm] y_h=e^(\bruch{1-x}{1+x})*C[/mm]
dazu habe ich [mm] \bruch{x}{1-x²} [/mm] in zwei Brüche zerlegt (Partialbruch) und beide Seiten unbestimmt integriert.
Jetzt muss ich nur noch (dachte ich zumindest] die Konstante variieren [mm] C_x[/mm] und einmal ableiten, rückeinsetzen.... und bekomme leider nichts heraus, das ich weiterverwenden könnte:
[mm] \Integral {C'(x) dx} = \integral { \bruch{1}{1-x²}* e^(-0,5 \bruch{1-x}{1+x} [/mm]
ich hoffe ihr haltet mich jetzt nicht für ungebildet, aber das kann ich einfach nicht integrieren, die Exponentialfunktion und das Produkt mit dem vorigen Term sind mir etwas zu hoch.
wie gehts weiter bzw. ist das bis jetzt richtig?
mfg
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Chlors |
was ist denn die ursprüngliche Aufgabe ??
liebe grüße, conny.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Do 02.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Für die Aufgabe hab ich leider keine Zeit, aber bei der PBZ hast du nen Fehler gemacht; mit dem Ansatz [mm]\bruch{x}{1-x^2}=\bruch{A}{1-x}*\bruch{B}{1+x}[/mm] erhalte ich [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]B=-\bruch{1}{2}[/mm].
Und insgesamt als Stammfunktion des Bruches [mm]\bruch{x}{1-x^2}[/mm] erhalte ich [mm]-\bruch{1}{2}*ln(|1-x^2|)[/mm], falls ich mich jetzt nicht verrechnet habe.
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Hi!
Bin aus deinen Ansätzen nicht so ganz schlau geworden. Ich rechne die Aufgabe einfach mal durch.
[mm] y'=\frac{1+xy}{1-x^2}=\frac{x}{1-x^2}y+\frac{1}{1-x^2}
[/mm]
zuerst löst man die zugehörige homogene Dgl:
[mm] y'=\frac{x}{1-x^2}y \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-x^2}y
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{\frac{1}{y}dy}=\integral{\frac{x}{1-x^2}dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (ich lass mal alle Beträge weg, die kannst du dann ja selber einfügen) [mm] lny=-\frac{1}{2}ln(1-x^2)+C, C\in\IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=C\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}=:y_h
[/mm]
nun sucht man noch eine spezielle Lsg der Dgl:
[mm] y_p=\left(\integral{\frac{1}{1-x^2}exp\left(-\integral{\frac{x}{1-x^2}dx}\right)dx}\right)exp\left(\integral{\frac{x}{1-x^2}dx}\right) [/mm] (bißchen schlecht das ich überall x hab, aber ich weiß nicht wie man es formal macht, kenn die Rechnung nur mit Anfangswerten, hoffe, das Prinzip ist klar)
[mm] \Rightarrow y_p=\integral{\frac{\wurzel{1-x^2}}{1-x^2}dx}\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}=\integral{\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}dx}\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}=arcsinx\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=y_p+y_h=\frac{arcsinx+C}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
So, wir können ja mal die Probe machen:
[mm] y'=\frac{\frac{\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{1-x^2}}-\frac{arcsinx+C}{2\wurzel{1-x^2}}(-2x)}{1-x^2}=\frac{x}{1-x^2}\left(\frac{arcsinx+C}{\wurzel{1-x^2}}\right)+\frac{1}{1-x^2}=\frac{x}{1-x^2}y+\frac{1}{1-x^2}
[/mm]
Scheint richtig zu sein.
Aber wie man das nun formal richtig aufschreibt, kann ich dir auch nicht sagen.
mfg Verena
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