Lösen einer Gleichung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Di 16.11.2010 | | Autor: | nappo |
| Aufgabe | Geben Sie alle waagrechten Tangenten folgender Funktion an:
f(x) = [mm] -\bruch{1}{6}\*x^{4}+x^{2}+\bruch{3}{4}\*x+\bruch{1}{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend liebe Forengemeinde;
Da waagrechte Tangenten gesucht sind, setze ich:
f'(x) = 0
sieht dann so aus:
f'(x) = [mm] -\bruch{2}{3}\*x^{3}+2\*x+\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] -\bruch{2}{3}\*x^{3}+2\*x+\bruch{3}{4} [/mm] = 0
und hier bin ich jetzt Überfordert. Substitution ist in meinen Augen genau so wenig hilfreich wie Polynomdivision.
Habe beides Versucht, aber es kommt dabei nur Mist heraus.
Mit dem Nullprodukt komme ich auch nicht auf die Lösungen, die meine Lehrerin ausgeteilt hat. Habe schon ettliche Versuche gestartet irgendwie x sinnvoll auszuklammern. Bringt mich aber auch nicht weiter. (Es muss ohne CAS Rechner gerechnet werden, in der Klausur am Freitag auch und bis dorthin würde ich mir gerne über das "Wie" im klaren sein)
Die Lösungen sind:
[mm] x_{1} [/mm] = -3/2
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-(\wurzel{21}-3)}{4}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{21}+3}{4}
[/mm]
Ich muss jetzt quasie nurnoch den korrekten Lösungsweg finden. Aber egal wie ich (händisch) Rechne, es kommen nie die geforderten Ergebnisse heraus.
verzweifelnde Grüße
Nappo
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Hallo nappo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Geben Sie alle waagrechten Tangenten folgender Funktion
> an:
> f(x) =
> [mm]-\bruch{1}{6}\*x^{4}+x^{2}+\bruch{3}{4}\*x+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Abend liebe Forengemeinde;
>
> Da waagrechte Tangenten gesucht sind, setze ich:
>
> f'(x) = 0
>
> sieht dann so aus:
> f'(x) = [mm]-\bruch{2}{3}\*x^{3}+2\*x+\bruch{3}{4}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{2}{3}\*x^{3}+2\*x+\bruch{3}{4}[/mm] = 0
Multipliziere zunächst das Polynom mit dem Hauptnenner durch,
dann steht da:
[mm]-8*x^{3}+24*x+9=0[/mm]
Mögliche Kandidaten für eine Nullstelle sind solche Zahlen [mm]\bruch{p}{q}[/mm],
für die p ein Teiler von 9 und q ein Teiler von -8 ist.
Demnach [mm] p \in \left\{-1,+1,-3,+3,-9,+9\right\}[/mm]
und [mm] q \in \left\{-1,+1,-2,+2,-4,+4,-8,+8\right\}[/mm]
>
> und hier bin ich jetzt Überfordert. Substitution ist in
> meinen Augen genau so wenig hilfreich wie Polynomdivision.
> Habe beides Versucht, aber es kommt dabei nur Mist
> heraus.
>
>
> Mit dem Nullprodukt komme ich auch nicht auf die Lösungen,
> die meine Lehrerin ausgeteilt hat. Habe schon ettliche
> Versuche gestartet irgendwie x sinnvoll auszuklammern.
> Bringt mich aber auch nicht weiter. (Es muss ohne CAS
> Rechner gerechnet werden, in der Klausur am Freitag auch
> und bis dorthin würde ich mir gerne über das "Wie" im
> klaren sein)
>
>
>
> Die Lösungen sind:
> [mm]x_{1}[/mm] = -3/2
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-(\wurzel{21}-3)}{4}[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{21}+3}{4}[/mm]
>
> Ich muss jetzt quasie nurnoch den korrekten Lösungsweg
> finden. Aber egal wie ich (händisch) Rechne, es kommen nie
> die geforderten Ergebnisse heraus.
> verzweifelnde Grüße
> Nappo
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 16.11.2010 | | Autor: | nappo |
Hallo MathePower,
Danke für die rasche Antwort
> Multipliziere zunächst das Polynom mit dem Hauptnenner
> durch,
> dann steht da:
>
> [mm]-8*x^{3}+24*x+9=0[/mm]
>
> Mögliche Kandidaten für eine Nullstelle sind solche
> Zahlen [mm]\bruch{p}{q}[/mm],
> für die p ein Teiler von 9 und q ein Teiler von -8 ist.
>
> Demnach [mm]p \in \left\{-1,+1,-3,+3,-9,+9\right\}[/mm]
> und [mm]q \in \left\{-1,+1,-2,+2,-4,+4,-8,+8\right\}[/mm]
>
>
p wegen dem absoluten Glied und q wegen den beiden Koeffizienten?
Mein Problem ist, dass ich von einem "CRS Taschenrechner" Gymnasium zu einem "nicht CRS Taschenrechner" Gymnasium wechseln musste. Was zur Folge hat, dass ich bei den ganzen Funktionsuntersuchungen relativ stark aufgeschmissen bin, da mein ehem. Lehrer immer sagte, dass das Peanuts sein, da es der Taschenrechner sowiso Lösen könne und im Pflichtteil des Abiturs nur sehr einfache Funktionen zu berechnen sein. Nun kann der Taschenrechner garnichtsmehr außer Funktionen zeichnen und ich somit auch nicht. Doch das ist kein Grund mir meinen 13 Punkte Schnitt in Mathe zu ruinieren.
Dient also [mm]\bruch{p}{q}[/mm] nur zum relativ schnellen Auffinden von [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] um dann eine Polynomdivison durchzuführen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich ging davon aus, dass im eingekringelten Bereich ein Rechenfehler vorliegt, oder die Rechnung ungültig ist, da mir bisher bei Polynomdivision nur Funktionen alla [mm] a*x^{n}+....+a*x^{4}+a*x^{3}+a*x^{2}+a*x+a [/mm] vorgelegt wurden. Ist es also legitim das "fehlende Stück" durch [mm] 0*a^{k} [/mm] zu ersetzen?
Dort bekomme ich als Lösung
[mm]-8x²+12*x+6[/mm]
heraus
Folglich setzte ich das dann Gleich Null:
[mm]-8x²+12*x+6=0[/mm]
Durch die MF bekomme ich
$ [mm] x_{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-(\wurzel{21}-3)}{4} [/mm] $
$ [mm] x_{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\wurzel{21}+3}{4} [/mm] $
Danke für die Hilfe. Wenn mein Rechenweg nun stimmt, habe ich wohl Verstanden wie man bei solchen Aufgaben von Hand vorgehen muss.
Gruß
Nappo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo nappo,
> Hallo MathePower,
>
> Danke für die rasche Antwort
>
> > Multipliziere zunächst das Polynom mit dem Hauptnenner
> > durch,
> > dann steht da:
> >
> > [mm]-8*x^{3}+24*x+9=0[/mm]
> >
> > Mögliche Kandidaten für eine Nullstelle sind solche
> > Zahlen [mm]\bruch{p}{q}[/mm],
> > für die p ein Teiler von 9 und q ein Teiler von -8
> ist.
> >
> > Demnach [mm]p \in \left\{-1,+1,-3,+3,-9,+9\right\}[/mm]
> > und [mm]q \in \left\{-1,+1,-2,+2,-4,+4,-8,+8\right\}[/mm]
>
> >
> >
>
> p wegen dem absoluten Glied und q wegen den beiden
> Koeffizienten?
>
> Mein Problem ist, dass ich von einem "CRS Taschenrechner"
> Gymnasium zu einem "nicht CRS Taschenrechner" Gymnasium
> wechseln musste. Was zur Folge hat, dass ich bei den ganzen
> Funktionsuntersuchungen relativ stark aufgeschmissen bin,
> da mein ehem. Lehrer immer sagte, dass das Peanuts sein, da
> es der Taschenrechner sowiso Lösen könne und im
> Pflichtteil des Abiturs nur sehr einfache Funktionen zu
> berechnen sein. Nun kann der Taschenrechner garnichtsmehr
> außer Funktionen zeichnen und ich somit auch nicht. Doch
> das ist kein Grund mir meinen 13 Punkte Schnitt in Mathe zu
> ruinieren.
>
> Dient also [mm]\bruch{p}{q}[/mm] nur zum relativ schnellen Auffinden
> von [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] um dann eine Polynomdivison
> durchzuführen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das reduziert das Problem dann auf die Nullstellensuche eines quadratischen Polynoms, und da gibt es ja stadtbekannte Methoden und Formeln ...
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich ging davon aus, dass im eingekringelten Bereich ein
> Rechenfehler vorliegt,
Ja, so wie es dasteht, sollte da [mm]\red{-}12x^2[/mm] herauskommen, wenn du die Minusklammer auflöst.
Das rührt aber daher, dass du falsch angesetzt hast.
Wenn du eine NST [mm]x_N[/mm] hast, musst du [mm]f(x):(x-x_N)[/mm] rechnen.
Hier also [mm](-8x^3+24x+9):\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)=\ldots[/mm]
Also [mm](-8^3+\ldots):\left(x\red{+}\frac{3}{2}\right)[/mm]
So hast du auch im weiteren gerechnet 
Und dafür ist die Rechnung richtig!
> oder die Rechnung ungültig ist, da
> mir bisher bei Polynomdivision nur Funktionen alla
> [mm]a*x^{n}+....+a*x^{4}+a*x^{3}+a*x^{2}+a*x+a[/mm] vorgelegt
> wurden. Ist es also legitim das "fehlende Stück" durch
> [mm]0*a^{k}[/mm] zu ersetzen?
Ja, bei dir kannst du mit [mm]0\cdot{}x^2[/mm] "füllen"
>
> Dort bekomme ich als Lösung
>
> [mm]-8x²+12*x+6[/mm]
>
> heraus
>
> Folglich setzte ich das dann Gleich Null:
>
> [mm]-8x²+12*x+6=0[/mm]
>
> Durch die MF bekomme ich
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-(\wurzel{21}-3)}{4}[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{21}+3}{4}[/mm]
>
> Danke für die Hilfe. Wenn mein Rechenweg nun stimmt, habe
> ich wohl Verstanden wie man bei solchen Aufgaben von Hand
> vorgehen muss.
Ja, gut so!
>
> Gruß
> Nappo
LG
schachuzipus
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