Lösen einer linearer DGl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Blueman |
Hi
Ich bin von meinen Unterlagen vollkommen verwirrt, in denen es heißt:
Sei eine lineare inhomogene Dgl y' = f(x)y + g(x) gegeben und eine partikuläre Lösung u bekannt. Dann sind alle weiteren Lösungen von der Form y = u + z, wobei z eine Lösung der homogenen Gleichung y' - f(x)y = 0 ist.
Komischerweise gilt aber auch: Die Lösung der linearen inhomogenen Gleichung mit Anfangswert y(x0) = 0 existiert und ist eindeutig.
Das widerspricht sich doch irgendwie, oder? eine partikuläre ist ja auch eine Lösung und wenn man dann eine Lösung der homogenen DGl draufaddiert entsteht im allgemeinen eine andere Lösung. Aber ich nehme mal an, dass die Aufgabe dann durch das Vorgeben des Anfangswertes eindeutig wird?? Also, dass man sich aus den vielen Lösungen die allgemein entstehen diejenige aussucht, die durch den Anfangswert geht?
Aber ich habe noch ein Problem: man soll die partikuläre Lösung finden indem man Variation der Konstanten anwendet. Komischerweise hätte ich bis jetzt einfach Variation der Konstanten gemacht und damit die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung meiner Meinung nach schon gehabt. Wieso soll man da plötzlich noch die Lösung der homogenen Gleichung draufaddieren? Das will mir einfach nicht in den Kopf. Man verwendet die homogene Gleichung doch schon bei der Methode der Variation der Konstante!
Hoffe jemand kann mir helfen.
Viele Grüße!
Blueman
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Hi, Blueman,
Dein Hauptproblem ist, dass man (zumindest ich) Deine Frage nicht zu 100% versteht!
Ich versuch' trotzdem Dir zu helfen!
> Ich bin von meinen Unterlagen vollkommen verwirrt, in denen
> es heißt:
>
> Sei eine lineare inhomogene Dgl y' = f(x)y + g(x) gegeben
> und eine partikuläre Lösung u bekannt. Dann sind alle
> weiteren Lösungen von der Form y = u + z, wobei z eine
> Lösung der homogenen Gleichung y' - f(x)y = 0 ist.
Das kann nicht stimmen!
z ist nicht "eine" Lösung der homogenen Gleichung,
sondern beschreibt ALLE Lösungen derselben!
> Komischerweise gilt aber auch: Die Lösung der linearen
> inhomogenen Gleichung mit Anfangswert y(x0) = 0 existiert
> und ist eindeutig.
>
> Das widerspricht sich doch irgendwie, oder? eine
> partikuläre ist ja auch eine Lösung und wenn man dann
> eine Lösung der homogenen DGl draufaddiert entsteht im
> allgemeinen eine andere Lösung. Aber ich nehme mal an,
> dass die Aufgabe dann durch das Vorgeben des Anfangswertes
> eindeutig wird?? Also, dass man sich aus den vielen
> Lösungen die allgemein entstehen diejenige aussucht, die
> durch den Anfangswert geht?
Jede Lösung der inhomogenen Gleichung kann als partikuläre Lösung verwendet werden, aber FÜR JEDEN ANFANGSWERT (also auch für [mm] y(x_{0})=0)
[/mm]
gibt es nur EINE solche Lösung. Sie wird i.A. natürlich nicht mit der Funktion u vom Anfang der Aussage übereinstimmen.
> Aber ich habe noch ein Problem: man soll die partikuläre
> Lösung finden indem man Variation der Konstanten anwendet.
> Komischerweise hätte ich bis jetzt einfach Variation der
> Konstanten gemacht und damit die allgemeine Lösung der
> inhomogenen Gleichung meiner Meinung nach schon gehabt.
Mit Hilfe der Variation der Konstanten findest Du nicht die gesamte Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung, sondern nur EINE einzige (die anderen ergeben sich ja - wie gesagt - mit Hilfe der Lösungen z der homogenen Gleichung).
Diese eine Lösung ist im Normalfall eine recht beliebige Funktion u.
In Deiner Aufgabe wird aber nun anscheinend verlangt, dass Du nicht irgendeine partikuläre Lösung findest, sondern eben genau die, bei der die Anfangsbedingung erfüllt ist.
> Wieso soll man da plötzlich noch die Lösung der homogenen
> Gleichung draufaddieren? Das will mir einfach nicht in den
> Kopf. Man verwendet die homogene Gleichung doch schon bei
> der Methode der Variation der Konstante!
Wie gesagt: Ich verstehe die Aufgabe so, dass Du eben nicht u, sondern die Funktion y (mit [mm] y(x_{0})=0) [/mm] auf diese Art berechnest.
Am besten, Du probierst das mal an einem Beispiel aus!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Blueman |
Vielen Dank für die Antwort. Hier ein Beispiel um mein Problem zu erläutern:
y' - y = sinx AW: y(0) = 0
Lösen per Variation der Konstante:
y'-y = 0 => y' = y => [mm] y=c(x)*e^x
[/mm]
Die Konstante wird also von x abhängig gemacht und nun wird eingesetzt:
y' = [mm] c'(x)*e^x [/mm] + [mm] c(x)*e^x [/mm] = y + sin(x) = [mm] c(x)*e^x [/mm] + sin(x)
Also ergibt sich
c'(x) = [mm] e^{-x}*sin(x)
[/mm]
Durch Integration erhalte ich
c(x) = [mm] -e^{-x}*(cos(x)/2 [/mm] + sin(x)/2) + d (wobei d die Integrationskonstante ist)
c(x) in obige Gleichung y = [mm] c(x)*e^x [/mm] einsetzen liefert
y = [mm] (-e^{-x}*(cos(x)/2 [/mm] + [mm] sin(x)/2)+d)*e^x [/mm]
Einsetzen des Anfangswertes y(0) = 0 ergibt d = -1/2 und damit ist die gesamte Gleichung (also die inhomogene Gleichung) gelöst, da die Probe aufgeht!
Jetzt das Problem: warum sollte ich noch alle Lösungen der homogenen Gleichung draufaddieren?? Meiner Meinung nach habe ich die einzige Lösung die es gibt gefunden und das ist nun mal die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Vielleicht liegt einfach Verwirrung bezüglich des Begriffs der partikulären Lösung vor?
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Hi, Blueman,
> y' - y = sinx AW: y(0) = 0
>
> Lösen per Variation der Konstante:
> y'-y = 0 => y' = y => [mm]y=c(x)*e^x[/mm]
Nein! Die Lösungsmenge des homogenen Systems lautet lediglich:
[mm] z=c*e^{x} [/mm] (um bei Deiner Bezeichnung aus der ersten Frage zu bleiben!)
Danach erfolgt die Suche einer partikulären Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe der Var.der Konst.:
> Die Konstante wird also von x abhängig gemacht und nun
> wird eingesetzt:
> y' = [mm]c'(x)*e^x[/mm] + [mm]c(x)*e^x[/mm] = y + sin(x) = [mm]c(x)*e^x[/mm] + sin(x)
> Also ergibt sich
> c'(x) = [mm]e^{-x}*sin(x)[/mm]
> Durch Integration erhalte ich
> c(x) = [mm]-e^{-x}*(cos(x)/2[/mm] + sin(x)/2) + d (wobei d die
> Integrationskonstante ist)
d brauchst Du nicht, wenn Du irgendeine (!) Lösung suchst.
> c(x) in obige Gleichung y = [mm]c(x)*e^x[/mm] einsetzen liefert
> y = [mm](-e^{-x}*(cos(x)/2[/mm] + [mm]sin(x)/2)+d)*e^x[/mm]
Kannst Du vereinfachen zu y = -0,5*(cos(x)+sin(x))
oder (mit der Bezeichnung aus Deiner 1. Frage):
u = -0,5*(cos(x)+sin(x))
Die gesamte Lösung Deiner DGL lautet nun: y = z+u, also:
y = -0,5*(cos(x)+sin(x)) + [mm] c*e^{x} [/mm]
Wenn Du hier die Anfangsbedingung einsetzt, erhältst Du c=0,5
und damit: [mm] y_{0} [/mm] = -0,5*(cos(x)+sin(x)) [mm] +0,5*e^{x}
[/mm]
oder y = [mm] 0,5*(e^{x} [/mm] - cos(x) - sin(x))
> Einsetzen des Anfangswertes y(0) = 0 ergibt d = -1/2 und
> damit ist die gesamte Gleichung (also die inhomogene
> Gleichung) gelöst, da die Probe aufgeht!
> Jetzt das Problem: warum sollte ich noch alle Lösungen
> der homogenen Gleichung draufaddieren?? Meiner Meinung nach
> habe ich die einzige Lösung die es gibt gefunden und das
> ist nun mal die partikuläre Lösung der inhomogenen
> Gleichung. Vielleicht liegt einfach Verwirrung bezüglich
> des Begriffs der partikulären Lösung vor?
Die Lösung z der homogenen Gl. wird aufaddiert, um ALLE (!) Lösungen der DGL zu finden.
Wenn Du nur EINE (partikuläre) Lösung suchst, ist das natürlich nicht nötig!
Um diese eine Lösung zu finden, kannst Du aber eben verschiedene Wege wählen, z.B. indem Du (wie ich es oben getan habe) die Anfangsbedingung in die Gesamtlösungsmenge einsetzt. Dein Lösungsweg führt aber zur selben Lösung.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Blueman |
Super, vielen Dank! Habs verstanden :)
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