Lösen eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mo 27.05.2013 | | Autor: | lol13 |
| Aufgabe | In einem Teil meiner Aufgabe muss ich Eigenvektoren bestimmen. Dabei muss ich nun das folgende LGS lösen:
[mm] \pmat{ -\wurzel{5} & 2+i & 0 \\ 2-i & -\wurzel{5} & 0 } [/mm] |
Allerdings hakt es bei mir, das LGS zu lösen:
[mm] \pmat{ 1 & (-2-i)/(\wurzel{5}) & 0 \\ 1 & -\wurzel{5}/(2-i) & 0 }
[/mm]
Die 2. Zeile minus die 1. Zeile ergibt:
[mm] \pmat{ 1 & (-2-i)/(\wurzel{5}) & 0 \\ 0 & 4*((-2-i)/(\wurzel{5})) & 0 }
[/mm]
Wenn ich noch weiter auflösen würde, würde ich die Einheitsmatrix erhalten, aber die Eigenvektoren können doch nicht 0 sein, wo steckt mein Fehler?
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Hallo
> In einem Teil meiner Aufgabe muss ich Eigenvektoren
> bestimmen. Dabei muss ich nun das folgende LGS lösen:
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> [mm]\pmat{ -\wurzel{5} & 2+i & 0 \\ 2-i & -\wurzel{5} & 0 }[/mm]
Zunächst: Wo ist das LGS? Ich sehe lediglich eine [mm] $2\times [/mm] 3$ Matrix.
>
> Allerdings hakt es bei mir, das LGS zu lösen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & (-2-i)/(\wurzel{5}) & 0 \\ 1 & -\wurzel{5}/(2-i) & 0 }[/mm]
>
> Die 2. Zeile minus die 1. Zeile ergibt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & (-2-i)/(\wurzel{5}) & 0 \\ 0 & 4*((-2-i)/(\wurzel{5})) & 0 }[/mm]
>
> Wenn ich noch weiter auflösen würde, würde ich die
> Einheitsmatrix erhalten, aber die Eigenvektoren können
> doch nicht 0 sein, wo steckt mein Fehler?
Am besten du präsentierst uns die Originalmatrix, und den/die zugehörigen Eigenwert/e. Dann können wir es auch besser überprüfen.
Allgemein berechnet sich der Eigenvektor $v$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] einer Matrix [mm] A\in\IK^{n\times n} [/mm] über
[mm] $$(A-\lambda E_n)v=0$$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mo 27.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Die Originalmatrix lautet:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2+i \\ 2-i & 1 }
[/mm]
Habe die Eigenwerte [mm] 1\pm\wurzel{5} [/mm] errechnet.
Die Nullerspalte sollte eigetlich nur deine Rechnung bedeuten, d.h. ich meinte damit das Ergebnis beider Gleichungen. Bei meiner ursprünglih geposteten Matrix habe ich dann mit dem ersren EW [mm] 1+\wurzel{5} [/mm] gerechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mo 27.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Hilft dir das jetzt weiter?
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Nochmals hallo,
der erste Eigenwert [mm] \lambda=1+\sqrt{5} [/mm] ist korrekt.
Zu lösen ist also
[mm] \left(\pmat{ 1 & 2+i \\ 2-i & 1 }-\lambda E_2\right)(v)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\pmat{ -\sqrt{5} & 2+i \\ 2-i & -\sqrt{5} }\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vmat{ -\sqrt{5}x+(2+i)y=0 \\ (2-i)x-\sqrt{5}y=0 } [/mm] (1)
Löse nun die erste Gleichung von (1) nach x auf, und setze in die zweite Gleichung von (2) ein. So erhältst du den Eigenvektor.
Dieser ist dann [mm] v=\vektor{\frac{2+i}{\sqrt{5}} \\ 1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Di 28.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Ich wollte ja genau das gleiche mithilfe einer Matrix ausrechnen, wo ist da der Unterschied?
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> Ich wollte ja genau das gleiche mithilfe einer Matrix
> ausrechnen, wo ist da der Unterschied?
Hallo,
Du kannst und sollst natürlich LGSe mit dem Gaußverfahren in Tabellenform lösen.
Du kannst aber nicht eine Matrix hinschreiben und sagen: "Das ist ein LGS"
Ein LGS ist ein LGS und eine Matrix ist eine Matrix.
Hättest Du eingangs gesagt, daß die Matrix die erweiterte Koeffizientenmatrix eines LGS ist, wäre alles klar gewesen.
Ob "erweitert" oder nicht, macht auch einen Unterscheid.
Klar wäre auch gewesen:
Ich möchte [mm] Kern\pmat{ -\wurzel{5} & 2+i \\ 2-i & -\wurzel{5} } [/mm] bestimmen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Di 28.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Wenn ich nach x auflöse, erhalte ich [mm] x=(2+i)/(\wurzel{5}) [/mm] *y
Wo hast du in deiner Rechnung das y gelassen?
Wenn ich dann das x in (2) einsetze, kommt 0 raus, wie kommst du da auf 1?
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> Wenn ich nach x auflöse, erhalte ich [mm]x=(2+i)/(\wurzel{5})[/mm]
> *y
> Wo hast du in deiner Rechnung das y gelassen?
Nirgendwo! Denn die Rechnung habe ich übersprungen, schließlich sollst du auch noch etwas machen.
> Wenn ich dann das x in (2) einsetze, kommt 0 raus, wie
> kommst du da auf 1?
zeig deine Rechnung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Di 28.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Also: Einsetzen von x in (2) ergibt vereinfacht:
[mm] (\wurzel{5})y-(\wurzel{5})y [/mm] = 0
So, wo liest du jetzt für y=1 ab???
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> Also: Einsetzen von x in (2) ergibt vereinfacht:
> [mm](\wurzel{5})y-(\wurzel{5})y[/mm] = 0
> So, wo liest du jetzt für y=1 ab???
Es ist [mm] x=\frac{(2+i)y}{\sqrt{5}}.
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] \frac{(2-i)(2+i)y}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}y=0
[/mm]
Im Zähler binomische Formel anwenden, und sich über das Ergebnis freuen, wenn man nach y aufgelöst hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Di 28.05.2013 | | Autor: | lol13 |
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> Es ist [mm]x=\frac{(2+i)y}{\sqrt{5}}.[/mm]
>
> Eingesetzt:
> [mm]\frac{(2-i)(2+i)y}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}y=0[/mm]
>
> Im Zähler binomische Formel anwenden, und sich über das
> Ergebnis freuen, wenn man nach y aufgelöst hat.
Genau das habe ich ja auf meinem Schmierzettel gemacht, dann erhalte ich immer noch [mm] \wurzel{5}y-\wurzel{5}y=0. [/mm] Das gilt doch für alle beliebigen y, schreibst du dann praktisch 1 als eine Art Basis?
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> >
> > Es ist [mm]x=\frac{(2+i)y}{\sqrt{5}}.[/mm]
> >
> > Eingesetzt:
> > [mm]\frac{(2-i)(2+i)y}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}y=0[/mm]
> >
> > Im Zähler binomische Formel anwenden, und sich über das
> > Ergebnis freuen, wenn man nach y aufgelöst hat.
> Genau das habe ich ja auf meinem Schmierzettel gemacht,
> dann erhalte ich immer noch [mm]\wurzel{5}y-\wurzel{5}y=0.[/mm] Das
> gilt doch für alle beliebigen y, schreibst du dann
> praktisch 1 als eine Art Basis?
[mm] \frac{(2-i)(2+i)}{\sqrt{5}}y=\sqrt{5}y
[/mm]
[mm] \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{5}}y=y
[/mm]
=> Und hier kannst du eben y=1 setzen. Mit y=0 erhältst man nur die triviale Lösung v=0, aber das sollte so ja nicht sein - warum? weil das schon allein die Definition von Eigenvektoren verbietet.
Es handelt sich ja um einen Vektor, d.h. du kannst sowieso Skalare hineinmultiplizieren. Das macht dem Vektor gar nichts aus.
Du kannst also durchaus noch den Vektor v mit [mm] \sqrt{5} [/mm] multiplizieren. Dann verschwindet der Bruch in der ersten Komponente des Vektors.
Ich hoffe es ist ein bisschen Licht ins Dunkle gekommen?!
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$ [mm] \frac{(2-i)(2+i)}{\sqrt{5}}y=\sqrt{5}y [/mm] $
$ [mm] \frac{5}{\sqrt{5}}y=\sqrt{5}y [/mm] $ [mm] $\neq$ [/mm] $ [mm] \frac{5}{\sqrt{5}}\sqrt{5}y=y [/mm] $ ?
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> [mm]\frac{(2-i)(2+i)}{\sqrt{5}}y=\sqrt{5}y[/mm]
>
> [mm]\frac{5}{\sqrt{5}}y=\sqrt{5}y[/mm] [mm]\neq[/mm]
> [mm]\frac{5}{\sqrt{5}}\sqrt{5}y=y[/mm] ?
Sorry, da klappte die Formatierung nicht. [mm] \sqrt{5} [/mm] gehört natürlich noch in den Nenner.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Di 28.05.2013 | | Autor: | lol13 |
ja, dann steht da 1*y=y. und dann???
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> ja, dann steht da 1*y=y. und dann???
Na das heißt doch eben genau, dass du alle Werte für y einsetzen darfst (außer natürlich y=0, denn dann wäre x=0 und der EIgenvektor wäre der Nullvektor - das gibt es aber nach Definition nicht).
Du kannst also einfach y=1 setzen.
Die Begründung habe ich shcon gegeben.
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