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| Aufgabe | Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung in einem geeigenten Gebiet.
(a) [mm] 2x(1+\wurzel{x^2-y})dx-\wurzel{x^2-y}dy=0
[/mm]
(b) [mm] (y^4-4xy)dx [/mm] + [mm] (2xy^3-3x^2)dy=0 [/mm] (man kann versuchen, einen integrierten Faktor M(xy)zu finden)
(c) [mm] (x^2+y^2+y)dx-xdy=0 [/mm] |
Hallo,
es ist mal wieder soweit, ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll diese Aufgaben zu lösen.
Da alle aufgaben vom ähnlichen Typ sind, gehe ich stark davon aus, dass sie auch alle ungefähr gleich zu lösen sind, aber wie gesagt, ich weiß leider nicht wie :(
Würde ist anfänglich denn einen Nutzen haben erstmal nach y' umzustellen?
Mfg Leipzig
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Ich glaube die Lösung von (a) zu haben
[mm] \bruch{2}{3}*(x^2-y)^{\bruch{3}{2}} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] +C
kann das sein?
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Hallo Leipziger,
> Ich glaube die Lösung von (a) zu haben
>
> [mm]\bruch{2}{3}*(x^2-y)^{\bruch{3}{2}}[/mm] + [mm]x^2[/mm] +C
>
> kann das sein?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Hallo Leipziger,
> Man bestimme die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung in einem geeigenten Gebiet.
>
> (a) [mm]2x(1+\wurzel{x^2-y})dx-\wurzel{x^2-y}dy=0[/mm]
> (b) [mm](y^2-4xy)dx[/mm] + [mm](2xy^3-3x^2)dy=0[/mm] (man kann versuchen,
> einen integrierten Faktor M(xy)zu finden)
> (c) [mm](x^2+y^2+y)dx-xdy=0[/mm]
> Hallo,
>
> es ist mal wieder soweit, ich habe keine Ahnung wie ich
> anfangen soll diese Aufgaben zu lösen.
>
> Da alle aufgaben vom ähnlichen Typ sind, gehe ich stark
> davon aus, dass sie auch alle ungefähr gleich zu lösen
> sind, aber wie gesagt, ich weiß leider nicht wie :(
>
> Würde ist anfänglich denn einen Nutzen haben erstmal nach
> y' umzustellen?
Versuchen kannst Du es ja.
In Anbetracht der Terme, die da vor dx bzw. dy stehen.
wirst Du wohl eine Substitution durchführen müssen,
um die umgestellte DGL lösen zu können.
Hier handelt es sich um Differentialgleichungen der Bauart
[mm]g\left(x,y\right)*dx+h\left(x,y\right)*dy=0[/mm]
Zunächst ist zu prüfen, ob
[mm]\bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial x}[/mm]
erfüllt ist.
Ist dies erfüllt, dann kannst Du einfach integrieren:
[mm]F\left(x,y\right)=\integral_{}^{}{g\left(x,y\right) \ dx}+\phi\left(y\right)[/mm]
Dies differenziert nach y vergleichst Du mit h:
[mm]h\left(x,y\right)=\bruch{\partial}{\partial y}\left(\ \integral_{}^{}{g\left(x,y\right) \ dx}+\phi\left(y\right)\ \right)[/mm]
Hier spricht man auch von einer "exakten Differentialgleichung".
Ist die Gleichung
[mm]\bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial x}[/mm]
nicht erfüllt,
so mußt Du einen sogenannten integrierenden Faktor finden,
der die Gleichung
[mm]\bruch{\partial \left(M*g\right)}{\partial y}=\bruch{\partial \left(M*h\right)}{\partial x}[/mm]
erfüllt.
Die Differentialgleichung wird durch
den integrierenden Faktor M zu einer exakten Differentialgleichung.
>
> Mfg Leipzig
Gruss
MathePower
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So, tut mir leid das ich jetzt erst anworte, Gestern war keine Zeit mehr.
Also ich habe (a) ja mit deiner Methode gemacht, und das hat da auch wunderbar geklappt, weil die Gleichung exakt war.
Nun habe ich mich an (c) probiert, und hier ist das leider nicht der Fall. Darum brauch ich ja den "integrierenden Faktor".
==> [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}= [/mm] 2y + 1, [mm] \bruch{\partial h}{\partial x}= [/mm] -1
Mein Problem nun, wie finde ich denn den Faktor? Muss man den erraten?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 So 22.11.2009 | | Autor: | Leipziger |
Kann mir denn Keiner weiterhelfen, ich komm an der Stelle einfach nicht weiter weil mir der Faktor fehlt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Im Prinzip muss man ein wenig raten, da hast du recht! Zuerst einmal kann man, das steht in jedem guten Buch über ODEs, sich überlegen, ob man einen Faktor [mm]M(x,y)=H(x), M=H(y), M=H(xy), M=H(x/y), M=H(y/x)[/mm] hat. Da musst du die Gleichung anschauen. Danach kannst du, so wie MathePower gesagt hat, die DGL lösen. Zum integrierenden Faktor empfehle ich Polland/Tenenbaum::Ordinary Differential Equations. Da steht alles über das Lösen von ODEs drinnen, was man schon mal gehört haben sollte.
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Tut mir leid, das bringt mich gar nicht weiter.
Ich habe mir paar Aufgaben gesucht, bei denen ist meistens immer der Ansatz mit dem Faktor schon gegeben. Aber ohne bekomm ich ihn nicht hin :(
Es gibt da ja einige Möglichkeiten die durchgetestet werden müssten und am Ende kanns trotzdem falsch sein, muss doch ne sicher Methode geben, um das zu lösen?!
- Verzweiflung macht sich breit ^^ -
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Hallo Leipziger,
> Tut mir leid, das bringt mich gar nicht weiter.
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> Ich habe mir paar Aufgaben gesucht, bei denen ist meistens
> immer der Ansatz mit dem Faktor schon gegeben. Aber ohne
> bekomm ich ihn nicht hin :(
>
> Es gibt da ja einige Möglichkeiten die durchgetestet
> werden müssten und am Ende kanns trotzdem falsch sein,
> muss doch ne sicher Methode geben, um das zu lösen?!
>
> - Verzweiflung macht sich breit ^^ -
Die DGL in Aufgabe c) läßt sich umformen zu
[mm]y'=x+\bruch{1}{x}*\left(y^{2}+y\right)[/mm]
Mittels der Substitution [mm]y=u*x[/mm] läßt sich die DGL lösen.
Gruss
MathePower
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Ich danke vielmals für deine Antwort, nun habe ich wenigstens für (c) schon ein Ergebnis: y = x*tan (x+C). Ist das erstmal korrekt?
Und nun immernoch zu b)
Ich hab versucht den Multiplikator mit Ansatz M(x*y) auszurechnen, da kam ich auf einen sehr langen, umständlichen Term
[mm] m'*((y^5)-4*x*(y^2)-2*(x^2)*(y^3)+3*(x^3))= -2m*((y^3) [/mm] + x)
aber nun hängts wieder! Ich muss sicher was substituieren, aber ich habe keine Ahnung was^^
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr müsst das mit dem finden von M(x) oder M(y) doch gehabt haben, sonst steht es glaub ich sogar in wiki oder in unzähligen skripten und Büchern, das hier zum n.ten mal aufzuschreiben lohnt nicht. Und als studi musst du eh lernen, sowas in der Literatur oder im Netz zu finden. Wir sind da, wenn du nach gründlichr recherche dann was nicht verstehst.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 So 22.11.2009 | | Autor: | Leipziger |
Tut mir leid, dass ich das jetzt erläutern muss.
1. Ist der Schritt, den ich mache, im Internet und vorallem bei Wiki nach Informationen zu suchen, wenn ich etwas nicht verstehe.
2. Weiß ich was zu tun ist, ich komme nur nicht weiter.
3. Sind Aussagen, wie deine gerade, auch keine Hilfe.
Mir hilft es halt, wenn mir Jemand hilft die Lösungswege zu verstehen, darum schreibe ich hier rein.
Gruß
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Hallo Leipziger,
> Ich danke vielmals für deine Antwort, nun habe ich
> wenigstens für (c) schon ein Ergebnis: y = x*tan (x+C).
> Ist das erstmal korrekt?
Ja, das stimmt.
>
> Und nun immernoch zu b)
> Ich hab versucht den Multiplikator mit Ansatz M(x*y)
> auszurechnen, da kam ich auf einen sehr langen,
> umständlichen Term
>
> [mm]m'*((y^5)-4*x*(y^2)-2*(x^{2})*(y^{3})+3*(x^{3}))= -2m*((y^3)[/mm] +
> x)
Hier muß stehen:
[mm]m_{u}*(\red{x}*y^{\red{4}}-4*x^{\red{2}}*y^{\red{1}}-2*x^{\red{1}}*y^{\red{4}}+3*x^{\red{2}}*\red{y})= -2m*((y^3+x)[/mm]
mit [mm]u\left(x,y\right)=x*y[/mm]
>
> aber nun hängts wieder! Ich muss sicher was substituieren,
> aber ich habe keine Ahnung was^^
>
> Gruß
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 So 22.11.2009 | | Autor: | Leipziger |
Danke danke, dann schau ich mir das jetzt mal an, und dann gehts schlafen!
Schönen Abend noch, ich schreib Morgen noch mal meine Lösung rein, sollte hoffentlich eine bekommen!
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Di 24.11.2009 | | Autor: | Leipziger |
Mein Ergebnis:
[mm] F(x,y)=\bruch{1}{3}*x^3 y^6 [/mm] - [mm] x^4 y^3
[/mm]
Ich hoffe das passt =)
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Di 24.11.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Leipziger,
> Mein Ergebnis:
>
> [mm]F(x,y)=\bruch{1}{3}*x^3 y^6[/mm] - [mm]x^4 y^3[/mm]
>
> Ich hoffe das passt =)
Das passt auch.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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