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| Aufgabe | Ermitteln Sie eine explizite Form der rekursiv definierten Folge [mm] a_n, n\in\IN_0 [/mm] mit
[mm] a_0 [/mm] = 3, [mm] a_1 [/mm] = 4, [mm] a_{n+2}:=a_{n+1}+6 [/mm] * [mm] a_n [/mm] |
Hallo zusammen!
Also vorweg: Es geht nur indirekt zum die Lösung der oben genannten Aufgabe (die ich nämlich schon habe, allerdings nicht verstehe, wie man darauf kommt... :-( )! Ich versuche gerade mehr, das Prinzip zu verstehen...:
Man muss ja versuchen ein (oder *das*?) charakteristische Polynom aufzustellen. Davon berechnet man dann die Nullstellen, setzt die Anfangsbedingungen ein (-> Wo genau setzt man die ein?) und die erhält explizite Form. Soweit korrekt?
Ich habe "bisher" immer folgenden (vllt. etwas sehr primitiven Ansatz) probiert: Wenn gegeben ist [mm] $b_0 [/mm] = 1, [mm] b_n [/mm] := [mm] 2+b_{n-1}$ [/mm] dann kann man einfach ein paar Werte einsetzen und durch "genaues Hinsehen" erkennen, dass [mm] $b_n [/mm] = 2*n+1$ ist. Allerdings ist das ja kein gutes Lösungsschema ... :-/ .
Meine Frage ist nun, wie komme ich systematisch auf das charakteristische Polynom (CP)? Dann weiter: Wenn ich dieses gefunden habe, kann ich dann IMMER über den Ansatz: [mm] $C_1*($1.NULLSTELLE [/mm] DES [mm] CP$)^n [/mm] + [mm] C_2*($2.NULLSTELLE [/mm] DES [mm] CP$)^n [/mm] + ... + [mm] C_m*($LETZTE [/mm] NULLSTELLE DES [mm] CP$)^n$ [/mm] mit Konstanten [mm] $C_i$ [/mm] ($i$ ist halt die entsprechende Nullstelle, Reihenfolge egal), die aus den Anfangsbedingungen ermittelt werden, das Problem lösen?
Habe mir schon 2 Mal das Skript dazu durchgelesen (Klausurvorbereitung), aber irgendwie verstehe ich die Struktur des Lösungsweges nicht so ganz.
Wenn mir jemand die erklären könnte, wäre ich sehr dankbar!
Hoffe das ist jetzt nicht zu viel Text...auf jeden Fall schonmal: Vielen Dank fürs Durchlesen und drüber Nachdenken im voraus!
MfG,
CodeFinder!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hm...also ich kann dir sagen wie man auf das charakteristische polynom kommt..also in meinem skript steht, dass das verfahren nur funktioniert wenn das polynom nur paarweise verschiedene nullstellen (und die auch noch [mm] \not=0) [/mm] hat...
aber wenn das der fall ist bilden die eigenwerte (nullstellen d. char. pol.) ein fundamentalsystem, also so wie du es geschrieben hast.
Das charakteristische poly. einer homogenen rekursionsgleichung der form
[mm] x_{n}=c_{1}x_{n-1}+c_{2}x_{n-2}+...+c_{k}x_{n-k}
[/mm]
ist [mm] CharP(\lambda)=\lambda^k-c_{1}\lambda^{k-1}-c_{2}\lambda^{k-2}-...-c_{k}
[/mm]
das kann man sich herleiten wenn man für die rekursionsvorschrift eine übergangsmatrix aufstellt und von der das charkteristische polynom bildet - ich glaub das ist dann das gleiche
hoffe das hilft dir irgendwie
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Danke erstmal! Ja, ein Stückchen hilft mir das weiter -soweit verstanden, denke ich. Aber wie stelle ich diese Übergangsmatrix (am von mir oben angegebenen Beispiel) denn auf? Und wie leite ich danach dann daraus das charakteristische Polynom ab?
Könntest Du mir das (wie gesagt: vllt. direkt an dem Beispiel) erklären?
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nunja - das brauchst du in dem fall ja schönerweise nicht...aber die übergangsmatrix zu deinem Beispiel dürfte so aussehen:
nennen wir sie A, dann gilt
[mm] a_{n}=a_{n-1}+6a_{n-2},
[/mm]
[mm] a_{n-1}=1*a_{n-1}+0a_{n-2}
[/mm]
[mm] x_{n}=\vektor{a_{n} \\ a_{n-1}}=\pmat{ 1 & 6 \\ 1 & 0 }*x_{n-1}=:A*x_{n-1}
[/mm]
Das Charakteristische Polynom einer nxn-matrix ermittelt sich mittels
[mm] CharP_{A}(\lambda)=Det(\lambda*E_{n}-A)=Det(\pmat{ \lambda-1 & 6 \\ 1 & \lambda })=\lambda^2-\lambda-6
[/mm]
und siehe da - das gleiche ergebnis wie beim anderen Verfahren
war es das was du sehen wolltest???
also die nullstellen des CharP. sind die Eigenwerte der Matrix...und desshalb kann man das andere irgendwie folgern - ganz verstanden habe ich das aber auch nicht..auf jedenfall macht man so etwas auch mit differenzialgleichungen und da funktioniert das auch
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Muchas gracias! 
