Lösung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einer Umfrage vor einer Wahl sagten 285 der 2000 befragten Personen,
sie würden nicht zur Wahl gehen. Nachdem in der Zwischenzeit ein medienintensiver Wahlkampf
stattfand, betrug die tatsächliche Wahlbeteiligung 88.5%. Kann daraus mit 99%-iger
Sicherheit geschlossen werden, dass in der Zwischenzeit Personen, die ursprünglich nicht zur
Wahl gehen wollten, umgestimmt wurden?
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Hallo Leute,
Ich muss morgen Vormittag diese Aufgabe abgeben und habe noch keinen Schimmer, wie ich sie lösen soll.
Es wäre super nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, vielleicht sogar mit dem Lösungsweg und der Lösung, dann kann ich sie diese Woche noch nacharbeiten.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Manuel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
hilft es dir wenn ich sage, dass du die Umfrage bewerten sollst, nicht das Ergebnis nach der Kampagne?
lg
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Hallo,
Danke, dass du dich meines Problems angenommen hast.
Nein, leider hilft mir diese Aussage wenig. Was ist denn genau die Aufgabenstellung und wie soll ich deiner Meinung nach die Umfrage bewerten?
Gruss,
Manuel
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Hallo!
> Danke, dass du dich meines Problems angenommen hast.
> Nein, leider hilft mir diese Aussage wenig. Was ist denn
> genau die Aufgabenstellung und wie soll ich deiner Meinung
> nach die Umfrage bewerten?
Es handelt sich hier eine Aufgabe zum Thema "Hypothesentests".
Habt ihr so etwas schonmal gemacht?
Du hast zwei Hypothesen vorliegen, und zwar in folgender Form:
Nullhypothese [mm] H_{0}: [/mm] Die Wahlbeteiligung liegt bei 88,5 %
Alternativhypothese [mm] H_{1}: [/mm] Die Wahlbeteiligung ist niedriger. (1715/2000 = 85,75 %)
Außerdem hast du nun eine Stichprobe vorliegen, nämlich die, dass 1715 von 2000 Leuten wählen gehen wollen. Anhand dieser Stichprobe sollst du nun entscheiden, ob [mm] H_{0} [/mm] oder [mm] H_{1} [/mm] vorliegt.
Du denkst dir jetzt wahrscheinlich: Was hat das mit meiner Aufgabenstellung zu tun?
Deine Aufgabenstellung lautet:
Vorher 1715 von 2000 Leute gesagt, sie gehen zur Wahl, jetzt waren's aber doch 88,5%.
Kann daraus mit 99%-iger Sicherheit geschlossen werden, dass in der Zwischenzeit Personen, die ursprünglich nicht zur Wahl gehen wollten, umgestimmt wurden?
Du musst Folgendes überprüfen: Kann es überhaupt sein, dass nur 1715 von 2000 Leuten wählen gehen wollten (das entspricht 85,75%), wenn die Wahlbeteiligung doch nachher bei 88,5% lag? Genauer: Kann ich das mit 99%-iger Sicherheit behaupten? Das würde dann nämlich bedeuten, dass keine Leute umgestimmt wurden, sondern dass das Ergebnis der Umfrage den üblichen Schwankungen unterlag.
Lies dir diesen Text genau durch! Es ist wichtig, dass du verstehst, das wir das Problem soeben in einen Hypothesentest umgewandelt haben!
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Schritt 2: Mathematisierung.
Eine Person kann sich nur zwischen "Zur Wahl gehen" oder "Nicht zur Wahl gehen" entscheiden.
Die Entscheidung einer Person ist also im Grunde ein Bernoulli-Experiment mit Wahrscheinlichkeit p für "Zur Wahl gehen".
Wenn das Experiment 2000-Mal hintereinander bei verschiedenen Personen durchgeführt wird, entsteht eine Bernoulli-Kette bzw. eine Binomialverteilung mit n = 2000 und p = ???.
Wenn eine Wahlbeteiligung von 20% vorliegt, heißt das, dass sich jede Person mit 20% für "Zur Wahl gehen" entscheidet, also ist dann p = 20%. Wahlbeteiligung und p haben also immer denselben Wert.
Dem entsprechend ändern sich unsere Hypothesen:
[mm] H_{0}: [/mm] p = 0.885
[mm] H_{1}: [/mm] p < 0.885
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Um weiter zu arbeiten, ist es nun notwendig, zu wissen was ihr schon zu diesem Thema hattet.
Grüße,
Stefan
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Hallo Stephan,
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung.
Ich habe verstanden, dass es darum geht, die Nullhypothese zu bestätigen oder zu verwerfen und H1 anzunehmen.
Heute in der Vorlesung haben wir das erste Mal solche Probleme angeschaut und diese Aufgabenstellung erhalten, um zu sehen wie weit wir kommen.
Meine Vorkenntnisse beschränken sich also vorerst auf ein Minimum. Wir schauen die Aufgabe morgen Vormittag in der nächsten Vorlesung an, ich wüsste aber gerne vorher schon etwas darüber bescheid.
Wie kann man denn jetzt explizit ausrechnen, ob man H1 oder H0 nimmt?
Grüsse,
Manuel
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Hallo,
handelt es sich um eine Mathematik-Vorlesung (reine Mathematik)?
Ich würde nun folgendermaßen weiter vorgehen:
Stichprobe hat die Form einer Binomialverteilung;
n = 2000, p = ?, k = 1715
[mm] $H_{0}: [/mm] p = 0.885$
[mm] $H_{1}: [/mm] p < 0.885$
Ein bester Test zum Niveau [mm] $\alpha [/mm] = 0.01$ (Irrtumswahrscheinlichkeit) lautet:
[mm] $\phi(k) [/mm] = [mm] \begin{cases}H_{0},\quad\quad\mbox{ falls } k\ge c\\ H_{1},\quad\quad\mbox{ falls } k < c\end{cases}$
[/mm]
mit [mm] $P_{H_{0}}(H_{1}) \le \alpha \le [/mm] 0.01$
Das kann man explizit ausrechnen, dass der Test so aussieht, aber mit ein bisschen Logik ist es auch getan: Dieser Test entscheidet anhand eines Eingangsparameters k (der von 0 bis 2000 gehen kann), ob [mm] H_{0} [/mm] vorliegt oder [mm] H_{1}.
[/mm]
Durch $c$ wird eine Grenze festgelegt: Ist k kleiner als c entscheidet man sich für [mm] H_{1}, [/mm] ansonsten für [mm] H_{0}. [/mm] Das ist auch einleuchtend: [mm] H_{1} [/mm] geht ja von einer niedrigeren Wahlbeteiligung aus, deswegen entscheidet man sich für [mm] H_{1}, [/mm] wenn wenig Leute zur Wahl gehen.
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Diese magische Grenze c muss man nun errechnen, und zwar mit Hilfe der Ungleichung
[mm] $P_{H_{0}}(\phi(k) [/mm] = [mm] H_{1}) \le \alpha \le [/mm] 0.01$.
Es ist der so genannte "Fehler 1. Art" - er drückt die Wahrscheinlichkeit aus, dass man sich für [mm] H_{1} [/mm] entscheidet, obwohl eigentlich [mm] H_{0} [/mm] vorliegt (Man kann einen Test ja nie mit absoluter Sicherheit machen - auch wenn die Stichprobe liefert, dass 0 von 2000 Leuten zur Wahl gehen wollen, könnten einfach alle aus Spaß gelogen haben und trotzdem eine Wahlbeteiligung von 88,5% entstanden sein, ohne dass sich Leute umentschieden haben).
Übersetzt bedeutet der Fehler 1. Art bei uns: Wir entscheiden uns dafür, dass die Wahlbeteiligung bei weniger als 88,5% gelegen haben muss, damit die Stichprobe zustande kommen konnte (sich also Leute umentschieden haben), obwohl eine Wahlbeteiligung von 88,5% vorliegt. Genau bei dieser Entscheidung dürfen wir uns aber nur zu 1% irren, denn wir wollen ja zu 99% sicher sein, dass unsere Entscheidung stimmt.
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Wie berechnet man nun c?
Zugrunde liegt ja eine Binomialverteilung, und wenn [mm] H_{0} [/mm] vorliegt, bedeutet das, dass p = 0.885 ist.
[mm] $P_{H_{0}}(H_{1}) \le \alpha \le [/mm] 0.01$
bedeutet nichts anderes, als dass wir c maximal zu bestimmen haben, so dass die Ungleichung
[mm] $P_{H_{0}}(H_{1}) [/mm] = P(k < c) = [mm] \sum_{k=0}^{c-1}\vektor{2000\\k}*0.885^{k}*0.115^{2000-k} \le [/mm] 0.01$
noch erfüllt ist.
Grüße,
Stefan
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