Lösung Quadratische Gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Obige Quadratische Gleichnung lässt sich miitels p-q Formel nicht lösen, da unter der Wurzel eine negative Zahl stehen würde, ich habe gehört man müsste auf den komplexe Zahlen umschwenken. Kann mir das jemand an hand des Beispiels erklären?
Gruß, Stradaboy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 So 23.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Stradaboy,
kennst Du den üverhaupt komplexe Zahlen und ihre Eigenschaften. Es hört sich nicht gerade so an und dann wird die Erklärung recht langwierig.
Gruß,
Infinit
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Ich habe Grundkenntnisse in komplexer Rechnung, diese jedoch nie in Anwendungen eingebaut, kenn z.B: konjungiert komplex, J²=-1 etc.
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Hallo,
ohne jetzt explizit allzu viel zu den komplexen Zahlen zu sagen: Die Gleichung lässt sich sehr wohl mit der p-q-Formel lösen, wenn man eben komplexe Lösungen zulässt.
Wir wissen bereits: [mm] $\wurzel{-1} [/mm] = i$ (oder $j$, $J$ o.ä.)
D.h. wir überprüfen zuerst, ob der Ausdruck unter der Wurzel der p-q-Formel (der Radikand) negativ ist (deshalb nennen wir ihn Diskriminante, weil wir ihn zur Unterscheidung benutzen). Falls ja, dann ist die Wurzel imaginär und gleich der Wurzel des negierten Ausdrucks, die zusätzlich mit der imaginären Einheit multipliziert wurde.
Einfacher lässt es sich so hinschreiben:
Sei $x<0$. Dann gilt:
[mm] $\wurzel{x} [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)*(-x)} [/mm] = [mm] \wurzel{-1}*\wurzel{-x} [/mm] = [mm] i*\wurzel{-x}$
[/mm]
Da $-x$ positiv ist, können wir das berechnen.
Jetzt am praktischen Beispiel (deine Aufgabe kannst du entsprechend lösen):
[mm] $x^2 [/mm] + 3x + 5 = 0$
$x = [mm] -\bruch{3}{2} \pm \wurzel{(\bruch{3}{2})^2 - 5} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} \pm \wurzel{-\bruch{11}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \pm i*\wurzel{\bruch{11}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \pm \bruch{i}{2}*\wurzel{11}$
[/mm]
Gruß
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 23.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stradaboy!
Du meinst hier mit Sicherheit [mm] $s^2+2*x+2 [/mm] \ [mm] \red{= \ 0}$ [/mm] (also eine Gleichung!).
Wie weit kommst Du denn mit der  p/q-Formel? Dabei wird dann ein negativer Ausdruck unter der Wurzel entstehen. Und hier dann entsprechend ausklammern und die Definition [mm] $\wurzel{-1} [/mm] \ =: \ [mm] \text{i}$ [/mm] anwenden.
Beispiel: [mm] $\wurzel{-9} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9*(-1)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9}*\wurzel{-1} [/mm] \ = \ [mm] 3*\text{i}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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