Lösung der DGl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung xy'-y=x^3e^-x
Mein Ansatz :
1. Schritt lösen der dazugehörigen homogenen DGL
xy'-y=0 ... [mm] y'=\bruch{y}{x} [/mm] ...Substituieren mit y=u*x
u'*x+u=u ... u'=0
Und hier kommt meine Frage dazu. Wenn für u'=0 gilt dann ist doch u=1.
Wenn ich wieder resubs. erhalte ich y=x. Ist das richtig ?
habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo tunetemptation.
> Hallo,
> folgende Aufgabe:
> Bestimmen sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung xy'-y=x^3e^-x
>
> Mein Ansatz :
> 1. Schritt lösen der dazugehörigen homogenen DGL
>
> xy'-y=0 ... [mm]y'=\bruch{y}{x}[/mm] ...Substituieren mit y=u*x
>
> u'*x+u=u ... u'=0
> Und hier kommt meine Frage dazu. Wenn für u'=0 gilt dann
> ist doch u=1.
> Wenn ich wieder resubs. erhalte ich y=x. Ist das richtig
> ?
Ja, die Lösung der homogenen DGL ergibt sich dann zu [mm]y=C*x[/mm].
>
> habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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Gut danke.
Dann mache ich mit Schritt 2 weiter.
Lösen der inhomogenen DGl.
Rechte Seite ist [mm] x^3*e^-x
[/mm]
Also Ansatz . Z(x)=B*e^-x
[mm] x*z'-z=X^3+e^-x
[/mm]
Wenn ich dann Z einsetzte und ausmultipliziere und nach B' auflöse :
[mm] B'=\bruch{x^3+Bx+X}{x}
[/mm]
Dann integrieren: [mm] B*ln|x|+1/3*x^3+Bx
[/mm]
Ist dies dann meine allgemeine Lösung für den inhomogenen Schritt.
haba das Gefühl da ist was falsch...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht, was du als ansatz nimmst? da du B spaeter ableitest offensichtlich [mm] B(x)*e^{-x}
[/mm]
Aber was du danach machst ist sicher falsch , schreib statt B B(x) dann siehst dus.
Wenn du "Variation der Konstanten machen willst nimmst du deine homogene loesung y=C*x, setzt aber jetzt
y=C(x)*x un das in die Dgl einsetzen gibt dir C'(x)=...
das integrieren.
Gruss leduart
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Danke für deine Antwort.
Laut unserer Tabelle vom Prof ist es so, dass wenn auf der rechten Seite steht : A*e^wx dann nehme ich als Ansatz für Z(X) [mm] B*e^w*x [/mm] mit gleichen w.
Das habe ich hier probiert.
Also : [mm] x*Z'-Z=x^3 [/mm] ( das ist mein A)*e^((-1) (ist mein W )*x)
ergibt :
[mm] x*(B*e^{-x})'-(B*e^{-x})=x^2*e^{-x} [/mm] =>
[mm] x*(B'*e^{-x}-B*e^{-x})-B*e^{-x}=x^3*e^{-x} [/mm] =>
[mm] x*B'*e^{-x}-x*B*e^{-x}-B*e^{-x}=x^3*e^{-x} [/mm] =>
[mm] x*B'*e^{-x}-x-1=x^3*e^{-x} [/mm]
[mm] B'=\bruch{x^3*(e^(-x))+1+x}{x*e^(-x)}
[/mm]
Davon das Integral bilden was aber hier zu mühsam ist.
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Hallo tunetemptation,
> Danke für deine Antwort.
> Laut unserer Tabelle vom Prof ist es so, dass wenn auf der
> rechten Seite steht : A*e^wx dann nehme ich als Ansatz für
> Z(X) [mm]B*e^w*x[/mm] mit gleichen w.
> Das habe ich hier probiert.
> Also : [mm]x*Z'-Z=x^3[/mm] ( das ist mein A)*e^((-1) (ist mein W
> )*x)
> ergibt :
> [mm]x*(B*e^{-x})'-(B*e^{-x})=x^2*e^{-x}[/mm] =>
> [mm]x*(B'*e^{-x}-B*e^{-x})-B*e^{-x}=x^3*e^{-x}[/mm] =>
> [mm]x*B'*e^{-x}-x*B*e^{-x}-B*e^{-x}=x^3*e^{-x}[/mm] =>
> [mm]x*B'*e^{-x}-x-1=x^3*e^{-x}[/mm]
Hier ist das B verlorengegangen:
[mm]x*B'*e^{-x}-\left(x+1\right)*\red{B}*e^ {-x}=x^3*e^{-x}[/mm]
Somit erhältst Du eine DGL zur Bestimmung von B:
[mm]x*B'-\left(x+1\right)*B=x^3[/mm]
Hier findet sich bestimmt auch ein Ansatz für B.
> [mm]B'=\bruch{x^3*(e^(-x))+1+x}{x*e^(-x)}[/mm]
>
> Davon das Integral bilden was aber hier zu mühsam ist.
>
Gruß
MathePower
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Aber muss das B nicht rausfallen damit ich nach B' auflösen kann?
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$ [mm] B\cdot{}ln|x|+1/3\cdot{}x^3+Bx [/mm] $ wäre dann das Integral wenn B nicht herausfällt. aber da hieß es ja schon dass dies falsch wäre.
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$ [mm] B\cdot{}ln|x|+1/3\cdot{}x^3+Bx [/mm] $ wäre dann das Integral wenn B nicht herausfällt. aber da hieß es ja schon dass dies falsch wäre. Wie funktioniert es dann?
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Hallo tunetemptation,
> [mm]B\cdot{}ln|x|+1/3\cdot{}x^3+Bx[/mm] wäre dann das Integral wenn
> B nicht herausfällt. aber da hieß es ja schon dass dies
> falsch wäre. Wie funktioniert es dann?
Entweder Du rechnet das nach Schema F aus, das heißt
zuerst die homogene DGL
[mm]x*B'-\left(x+1\right)*B=0[/mm]
lösen.
Und dann die in der Läsungsfunktion enthaltene Konstante von x abhängig machen.
Damit gehst Du dann in die DGL
[mm]x*B'-\left(x+1\right)*B=x^{3}[/mm]
und löst das dann auf nach der Konstanten.
Oder Du wählst hier den Ansatz einer Polynomfunktion für B.
Ich denke, daß letzteres im Sinne Deines Profs ist.
Gruß
MathePower
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Okay, könntest du mir vielleicht den Ansatz für die polynomfunktion sagen ?
Weiß gerade garnicht wie ich es umstellen soll ?!
Hab jetzt B' s.o. integriert und dieses gleich 0 gestetzt und nach B aufgelöst und erhalte : [mm] \bruch{x^3/3}{ln|x|+x+1}
[/mm]
Bringt mir das was? Wäre doch die lösung oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaub du verwechselst etwas:
der Ansatz deines Profs gilt fuer lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten und da ist B ne Zahl.
hier musst du wirklich die Variation der Konstanten machen . und zwar der Konstanten bei der loesung der homogenen.
Du hast hier in der vorlesung was falsch verstanden, oder 2 Methoden, die dein Prof an einem Tag vorfuehrte gemischt. Sieh noch mal genau nach und vertrau mir!
du kommst mit deinem Ansatz in Teufels Kueche! ( da steht ne komplizierter Dgl als die am Anfang!
Gruss leduart
Gruss leduart
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Ist soweit eigentlich klar. Ich habe den Ansatz gemacht wie vom Prof vorgegeben und komme eben auf diese Gleichung [mm] x*b'-(x+1)*b=x^3
[/mm]
Und was mach ich dann damit ?
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Hallo tunetemptation,
> Aber muss das B nicht rausfallen damit ich nach B'
> auflösen kann?
Bei diesem Ansatz, den Dein Prof vorgegeben hat, nicht.
Wenn Du hingegen den Ansatz [mm]y\left(x\riight)=C\left(x\right)*x[/mm] wählst,
dann ergibt das eine DGL nur mit C'.
Diesen Ansatz nennt man dann "Variation der Konstanten".
Gruß
MathePower
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Gut habe das jetzt mit Variation der Konstanten gemacht und erhalte
C(x)=(-x-1)*e^(-x)
Schaut doch schon mal ganz gut aus.
Also ist meine allg. Lösung: x+(-x-1)*e^(-x)
Aber wann benutze ich den Prof Ansatz mit B*e^(wx)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 12.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
hatte ich schon gesagt, beilin. Dgl mit konstanten Koeff.
sieh dein skript nochmal nach. Fuer welches Problem hat er das gemacht?
gruss leduart
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Dazu haben wir kein beispiel gemacht.
Aber ich galueb ich habs verstanden.
zB für y'x+y=5*e^-x
Dann ist ja 5 meine lin. Konstante und nicht von x abhängig.
Stimmt meine Lösung zu obiger Aufgabe ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 12.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
lieare Dgl mit konstanten Koefizienten heisst
a*y'+b*y=f(x), a,b reelle zahlen.
ob deine Loesung richtig ist kontrollierst du selbst, indem du sie in die Dgl einsetzt. (Das sollte man immer, bis man sehr gut mit Dgl umgehen kann!
Die allgemeine Loesung ist es auf keinen Fall, es fehlt ne Konstante! d
was war denn die allg Loesung der homogenen, dazu addierst du die spezielle der inh.
Gruss leduart
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Ah ich verstehe.
Habe mein ergebnis eingesetzt mit y=x+c+(-x-1)*e^(-x)
Ich erhalte aber dann : [mm] (x^2+x+1)*e^{-x}-x
[/mm]
Wo habe ich falsch gerechnet ?
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Hi, tunetemptation,
> Ah ich verstehe.
> Habe mein ergebnis eingesetzt mit y=x+c+(-x-1)*e^(-x)
> Ich erhalte aber dann : [mm](x^2+x+1)*e^{-x}-x[/mm]
>
> Wo habe ich falsch gerechnet ?
Das musst Du selbst noch rausfinden.
Mein Ergebnis lautet jedenfalls:
y=cx - x(x+1)*e^(-x)
mfG!
Zwerglein
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Wie kommst du auf dein ergebnis ?
Die Lösung der homogen ist doch y=x+c
und wenn ich für y=c(x)*x ( dein Ergebnis übernommen ) in meine DGL einsetzte :
x*(C(x)'*x+C(x)*1)-(C(x)*x)=x^3e^(-x)
C'(x)=x*e^(-x)
C(X)=(-x-1)*e^(-x)
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Habs nochmal überprüft finde aber meinen Fehler nicht .
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Hallo tunetemptation,
> Habs nochmal überprüft finde aber meinen Fehler nicht.
Statt
[mm]y=x+c+(-x-1)*e^{-x} [/mm]
muß es
[mm]y=x \blue{\*} \left(c+\left(-x-1\right)*e^{-x}\right)[/mm]
heißen.
Gruß
MathePower
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Also wenn ich zwergerls Lösung differenziere erhalte ich [mm] x^3+e^{-x}
[/mm]
Aber warum ist mien y = Cx+(-x-1)e^(-x) ???
Habe doch c(x) richtig eingesetzt und nach c'(x) aufgelöst ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 So 12.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch die allgemeine Loesung der homogenen Dgl mit y=c*x
c reele Zahl gefunden.
Dann hast du ne spezielle Loesung der inhomogenen Gleichung gesucht. Dabei hast du hoffentlich gefunden:
[mm] C(x)=-xe^{-x}+e^{-x}+c [/mm]
damit dann y=C(x)*x=.......
Gruss leduart
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