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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 12.03.2008 | | Autor: | SirTech |
| Aufgabe | Lösen Sie die DGL
[mm] x^2*y'(x)=y^2(x)-x*y(x)
[/mm]
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Durch die Trennung der Variablen kam ich auf den Substitutionsfall vom Typ "u=y/x".
[mm] y'=(y/x)^2-(y/x)
[/mm]
durch die Substitution mit u=y/x ergibt sich für mich dann folgende Gleichung:
[mm] du/(u^2-2u) [/mm] = dx/x
Jetzt folgt mein Problem!
Dies ist eine Klausuraufgabe, in welcher man keine 300 Integrale-umfassende Formelsammlung in der Tasche liegen hat.
Die linke Seite zu Integrieren ist aber nicht ganz ohne, da es sich dabei nicht um ein Stamm- oder Grundintegral handelt.
Es folgen zwei Methoden:
A)
[mm] \integral_{}^{}{1/(u^2-2u) du} [/mm] =
[mm] 1/\wurzel{\Delta}*lnl(2ax+b-\wurzel{\Delta})/(2ax+b+\wurzel{\Delta})
[/mm]
Woher soll ich in der Klausur bitte diesen Fall kennen ?
Es muss in meinen Augen also eine andere -leichtere Möglichkeit geben!
Vielleicht die Substitution ? Okay eine weitere Substitution muss her.
Dazu wird mit +1-1 unter dem Nenner ein Binom gebildet.
Dann wird wie folgt verfahren.
B)
[mm] \integral_{}^{}{1/(z^2-1) dz} [/mm] = 1/a*artanh(x/a) für x < a
= 1/a*artanh(x/a) für x > a
Ich weiß zwar von Maple, dass hier der artanh verwendet wird, aber wie soll ich denn hier bestimmen ob [mm] z^2 [/mm] größer als -1 ist?
Also auch hier wieder, woher soll ich das wissen über dieses Integral haben und einfach ist es auch nicht.
Ich habe eine Integrationstabelle mit genau 14 Grundintegralen zur Verfügung, damit muss ich auskommen in der Klausur. Darunter wären zum Beispiel:
[mm] \integral_{}^{}{1/(1+x^2) dx} [/mm] = arctanx + C
aber ich habe ja in meinem Falle selbst durch die zweite Sub. "nur" ein [mm] x^2-1 [/mm] vorliegen ...
Lässt sich dort irgendwo etwas einfacher verfahren, ich verzweifle langsam.
Gruß und Danke im Voraus! -Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mi 12.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie die DGL
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> [mm]x^2*y'(x)=y^2(x)-x*y(x)[/mm]
>
> Durch die Trennung der Variablen kam ich auf den
> Substitutionsfall vom Typ "u=y/x".
>
> [mm]y'=(y/x)^2-(y/x)[/mm]
>
> durch die Substitution mit u=y/x ergibt sich für mich dann
> folgende Gleichung:
>
> [mm]du/(u^2-2u)[/mm] = dx/x
>
> Jetzt folgt mein Problem!
> Dies ist eine Klausuraufgabe, in welcher man keine 300
> Integrale-umfassende Formelsammlung in der Tasche liegen
> hat.
Hallo,
ich glaube, dass eine Partialbruchzerlegung fällig ist:
[mm] \bruch{1}{u^2-2u}=\bruch{A}{u}+\bruch{B}{u-2}
[/mm]
Das gibt ganz einfache Integrale.
Viele Grüße
Abakus
>
> Die linke Seite zu Integrieren ist aber nicht ganz ohne, da
> es sich dabei nicht um ein Stamm- oder Grundintegral
> handelt.
> Es folgen zwei Methoden:
>
> A)
>
> [mm]\integral_{}^{}{1/(u^2-2u) du}[/mm] =
>
> [mm]1/\wurzel{\Delta}*lnl(2ax+b-\wurzel{\Delta})/(2ax+b+\wurzel{\Delta})[/mm]
>
>
> Woher soll ich in der Klausur bitte diesen Fall kennen ?
> Es muss in meinen Augen also eine andere -leichtere
> Möglichkeit geben!
> Vielleicht die Substitution ? Okay eine weitere
> Substitution muss her.
> Dazu wird mit +1-1 unter dem Nenner ein Binom gebildet.
> Dann wird wie folgt verfahren.
>
> B)
>
> [mm]\integral_{}^{}{1/(z^2-1) dz}[/mm] = 1/a*artanh(x/a) für x < a
>
> = 1/a*artanh(x/a) für x > a
>
> Ich weiß zwar von Maple, dass hier der artanh verwendet
> wird, aber wie soll ich denn hier bestimmen ob [mm]z^2[/mm] größer
> als -1 ist?
> Also auch hier wieder, woher soll ich das wissen über
> dieses Integral haben und einfach ist es auch nicht.
>
> Ich habe eine Integrationstabelle mit genau 14
> Grundintegralen zur Verfügung, damit muss ich auskommen in
> der Klausur. Darunter wären zum Beispiel:
>
> [mm]\integral_{}^{}{1/(1+x^2) dx}[/mm] = arctanx + C
>
> aber ich habe ja in meinem Falle selbst durch die zweite
> Sub. "nur" ein [mm]x^2-1[/mm] vorliegen ...
>
>
> Lässt sich dort irgendwo etwas einfacher verfahren, ich
> verzweifle langsam.
>
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>
> Gruß und Danke im Voraus! -Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mi 12.03.2008 | | Autor: | SirTech |
Tausend Dank für den Hinweis, werde es morgen versuchen.
Gruß -Pat
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