Lösung einer Differentialgleic < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Do 18.06.2009 | | Autor: | tjerna |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
kann mir jemand sagen wie ich die folgende Dgl lösen kann bzw. was die Lösung ist? Versuche mich jetzt schon seit Stunden daran.
[mm] DT/dt=a*T(t)^4
[/mm]
Bin für jede Hilfe dankbar.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Do 18.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo tjerna
Wenn dein D ein d ist und du hast :
[mm] \bruch{dT}{dt}=T*t^4
[/mm]
Dann einfach Trennung der Variablen und integrieren:
[mm] \bruch{dT}{T}=t^4*dt
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Do 18.06.2009 | | Autor: | tjerna |
Danke für die schnelle Antwort.
Die Gleichung lautet aber eigentlich:
[mm] dT/dt=(T^4)*a
[/mm]
a=const.
Kann man hier auch Trennung der Variablen anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Do 18.06.2009 | | Autor: | Blech |
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Die Gleichung lautet aber eigentlich:
>
> [mm]dT/dt=(T^4)*a[/mm]
> a=const.
>
> Kann man hier auch Trennung der Variablen anwenden?
klar.
[mm] $\frac{dT}{T^4} [/mm] = [mm] a\, [/mm] dt$
sieht mir sehr getrennt aus =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 18.06.2009 | | Autor: | tjerna |
Wenn ich probiere das zu lösen komme ich auf:
[mm] dT/T^4=a*dT;
[/mm]
-1/3*T^-3=a(t+c);
T=(-3a(t+c))^-1/3;
Wie berücksichtige ich jetzt die Anfangsbedingung T(0)=T0?
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Hallo tjerna,
> Wenn ich probiere das zu lösen komme ich auf:
>
> [mm]dT/T^4=a*dT;[/mm]
> -1/3*T^-3=a(t+c);
Hmm, man würde die Integrationskonstante eher so schreiben:
[mm] $-\frac{1}{3}T^{-3}=a\cdot{}t+c$
[/mm]
Also [mm] $T=\frac{1}{\sqrt[3]{-3\cdot{}(a\cdot{}t+c)}}$
[/mm]
> T=(-3a(t+c))^-1/3;
>
> Wie berücksichtige ich jetzt die Anfangsbedingung T(0)=T0?
Na einsetzen 
Damit bekommst du c heraus:
[mm] $T(\red{0})=\frac{1}{\sqrt[3]{-3(a\cdot{}\red{0}+c)}}=\frac{1}{\sqrt[3]{-3\cdot{}c}}\overset{!}{=}t_0$ [/mm]
Also [mm] $c=-\frac{1}{3\cdot{}t_0^3}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Do 18.06.2009 | | Autor: | tjerna |
Vielen Dank schachuzipus.
Jetzt verstehe ich es. Das von dir zuletzt klein geschriebene t soll wahrscheinlich ein großes T sein.
Beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 18.06.2009 | | Autor: | tjerna |
Irgendwie hilft mir das auch noch nicht wirklich weiter.
Die Formel die ich habe soll nämlich die Temperaturabnahme eines Körpers durch Abstrahlung beschreiben. Ich hätte also eigentlich gern eine Formel in der Form z.B. einer Zerfallsgleichung. Die Temperatur T zur Zeit t soll als Funktion der Ausgangstemperatur dargestellt werden. Das bekomme ich einfach nicht hin.
Geht das mit dem oben beschriebenen Lösungsweg?
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Hallo,
[mm] $T(t)=(-3*(a*t-\frac{1}{3*T_0^3}))^{-1/3}$
[/mm]
[mm] $T(t)=(-3*a*t+\frac{1}{T_0^3}))^{-1/3}=\wurzel[3]{\frac{1}{-3*a*t+\frac{1}{T_0^3}}}=\frac{1}{\wurzel[3]{T_0^{-3}-3*a*t}}$
[/mm]
LG, Martinius
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