Lösung einer Expotentialglg < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Blaze |
| Aufgabe | | 0=a+e^(2-a)-a*e^(2-a)-1 |
Hallo zusammen!
Wir haben im Matheunterricht eine Abituraufgabe von unserem Lehrer bekommen die wir lösen sollen als Vorbereitung fürs Abi. Ich komm damit auch ziemlich gut klar, nur an einer Stelle hapert es. Wie löse ich denn folgende Gleichung:
0=a+e^(2-a)-a*e^(2-a)-1
Man kann sehen dass a=1 sein muss, aber wie kann ich die Gleichung umformen um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen? Wenn ich
1-a= e^(2-a)*(1-a)
Habe und dann durch (1-a) rechne schließe ich schon a=1 aus, dann bekomme ich a=2 raus, was aber nicht sein kann da die Aufgabe eine Extremwertaufgabe ist und 0<a<2 gelten muss.
Ich weiß nicht wie ich die Gleichung weiter umformen soll, ich denke mal da muss man wieder einen dieser "Kunstgriffe" anwenden.
Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.
Danke schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen
Blaze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Blaze,
Deine Überlegungen sind schon ganz okay, schau Dir doch die Gleichung
$$ 1 - a = (1 - a) [mm] \cdot \exp^{(2-a)} [/mm] $$
an. a = 1 ist eine Lösung, denn dann heisst die Gleichung
$$ 0 = 0 $$ was sicher stimmt. a =2 ist aber auch eine Lösung, die Exponentialfunktion ist dann 1, und man erhält die Gleichung
$$ -1 = -1 [mm] \, [/mm] .$$
Beides sind erlaubte Lösungen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Blaze |
Hallo Infinit!
Ersteinmal danke für deine schnelle Antwort, doch mein Problem ist noch nicht gelöst. Wie komme ich denn rechnerisch durch umstellen auf die Lösungen a=1 und a=2 ohne die Gleichung nur anzuschauen? Gibt es da eine Möglichkeit diese Werte zu ermitteln ohne die Gleichung zu "interpretieren"?
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Hallo Blaze,
ich denke, es geht schon, wenn du bei Infinits Ansatz weitermachst:
[mm] $a+e^{2-a}-ae^{2-a}-1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (1-a)e^{2-a}=1-a$
[/mm]
Nun eine Fallunterscheidung:
Wenn [mm] a\ne [/mm] 1 ist, dürfen wir durch 1-a teilen, also Fall1: [mm] a\ne [/mm] 1:
[mm] $\Rightarrow e^{2-a}=1\gdw 2-a=0\gdw [/mm] a=2$ zack, erste Lösung 
2.Fall: a=1
Dann steht in der Ausgangsgeichung [mm] 0=1+e^{2-1}-1\cdot{}e^{2-1}-1\gdw [/mm] 0=0
Also eine wahre Aussage
Insgesamt hast du somit 2 Lösungen a=1 und a=2, die die Ausgangsgleichung erfüllen.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es geht auch ohne Fallunterscheidung:
Im ersten Schritt einmal das e hoch ausklammern:
[mm] e^{2-a}(1-a)+a-1=0
[/mm]
[mm] e^{2-a}(1-a)-(1-a)=0
[/mm]
1-a ausklammern:
[mm] (1-a)(e^{2-a}-1)=0
[/mm]
a=1 v a=2
Bitte sehr=)
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Blaze |
Oh man, na klar, den Ausdruck in ein Produkt umformen. Danke Kroni, das ist genau das was ich haben wollte. Jetzt kann ich das gut erklären wie ich auf die Werte für a gekommen bin ohne zu sagen "das sieht man so" .
Nochmals vielen Dank.
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