Lösung einer Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass die Funktion x(t) = [mm] \bruch{k}{1+(\bruch{k}{x_{0}}-1) e^{-at}} [/mm] das logistische Modell von Verhulst [mm] \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] = ax(t) (1- [mm] \bruch{x(t)}{k}) [/mm] löst.
Was ist die Bedeutung von k, a und [mm] x_{0} [/mm] ? |
| Aufgabe 2 | 1.2 Die Funktion y(x) = [mm] ae^{-bx} [/mm] ist eine Lösung der Differentialgleichung [mm] \bruch{dy(x)}{dx} [/mm] = 5y(x)
Bestimmen Sie a und b, wenn y(2)= 1 ist. |
Ich bräuchte hier dringend hilfe wir fangen im Moment wieder mit Differentialgleichungen an und leider ists schon verdammt lange her das ich das letzte mal etwas in dieser Art gemacht habe das logistische Modell von Verhulst hatten wir noch garnicht aber unser Tutor meinte das sei wie jede andere Funktion zu behandeln. Ich bin zumindest soweit gekommen das ich die erste Gleichung also x(t) = [mm] \bruch{k}{1+(\bruch{k}{x_{0}}-1) e^{-at}} [/mm] abgeleitet habe da im Modell von Verhulst durch [mm] \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] die erste Ableitung gesucht wird. Da habe ich dann folgendes bei raus bekommen:
[mm] \bruch{k*1+(\bruch{k}{x_{0}}*e^{-at})-e^{-at} - k*0*e^{-at}+\bruch{k}{x_{0}}*(-a-e^{-at})-(-a-e^{-at})}{(1+\bruch{k}{x_{0}}*e^{-at}--e^{-at})^{2}}
[/mm]
Demnach: [mm] \bruch{k*1+(\bruch{k}{x_{0}}*e^{-at})-e^{-at} - k*0*e^{-at}+\bruch{k}{x_{0}}*(-a-e^{-at})-(-a-e^{-at})}{(1+\bruch{k}{x_{0}}*e^{-at}--e^{-at})^{2}} [/mm] = ax(t) (1- [mm] \bruch{\bruch{k}{1+(\bruch{k}{x_{0}}-1) e^{-at}}}{k}) [/mm] für x(t) die Funktion eingesetzt
so leider weiß ich nicht ob ich richtig abgeleitet habe und ich weiß auch leider nicht wie ich mit diesem Monstrum weiter verfahren soll =( wäre cool wenn mir da jemand mit einer genauen Aufschlüsselung was falsch is bzw wie ich da weiter machen soll weiter helfen könnte.
Bei Aufgabe 2 hab ich dann noch nicht mal mehr eine idee....Blackout lässt grüßen. WEnn mir da auch jemand weiter helfen könnte wäre ich happy
Gruß Tim221287
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Hallo Tim,
ich fürchte nur, dass du da beim Ableiten ein paar
erhebliche Fehler gemacht hast. Du benützt die
Quotientenregel, lässt dann aber z.B. Klammern aus,
die eigentlich notwendig wären und setzt k'=k anstatt
k'=0. Ausserdem scheint es, dass du zwar von der
Kettenregel noch irgendeine Ahnung hast, aber
nur eine andeutungsweise treffende ...
Vielleicht solltest du zunächst einmal die Ableitungs-
regeln durchackern, dann wird auch der Ableitungsterm
nicht so monströs.
Noch ein Tipp, um die Ausdrücke überschaubarer zu
machen: Setze z.B. nach dem Ableiten, wenn es nur
noch ums Vereinfachen geht, für den Term
[mm] $\left(\bruch{k}{x_0}-1\right)*e^{-a\,t}$
[/mm]
die Abkürzung T ein !
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 2:
Es ist $y'(x) = [mm] -abe^{-bx}$
[/mm]
Wegen $ [mm] \bruch{dy(x)}{dx} [/mm] = 5y(x) $ folgt
[mm] $-abe^{-bx}= 5ae^{-bx} [/mm] $ (für jedes x),
also
(1) $-ab = 5a$
Weiter haben wir:
$1=y(2) = [mm] ae^{-2b}$
[/mm]
Somit
(2) $1= [mm] ae^{-2b}$
[/mm]
Aus (1) und (2) kannst Du nun a und b bestimmen.
FRED
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