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| Aufgabe | Schreiben Sie die folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] als Vereinigung von Intervallen.
[mm] \{x \in \IR : 2x + \bruch{1}{1-x} \ge 1 \} [/mm] |
Hi!
Ich habe irgendwie ein Problem mit dieser (Teil-)Aufgabe und hoffe, hier vielleicht ein paar Tipps (bzw. den entscheidenden Tipp) zur Lösung zu bekommen.
Da x-1 unter dem Bruchstrich steht binich grundsätzlich einmal davon ausgegangen, dass x [mm] \not= [/mm] 1 gilt.
Weiter bin ich dann wie folgt vorgegangen:
2x + [mm] \bruch{1}{1-x} \ge [/mm] 1 /*(1-x)
2x(1-x) + 1 [mm] \ge [/mm] 1(1-x)
2x-2x²+1 [mm] \ge [/mm] 1-x
3x-2x² [mm] \ge [/mm] 0
x(3-2x) [mm] \ge [/mm] 0
Daraus folgt:
1. x [mm] \ge [/mm] 0
2. 3-2x [mm] \ge [/mm] 0
3 [mm] \ge [/mm] 2x
[mm] \bruch{3}{2} \ge [/mm] x
Dass x [mm] \ge [/mm] 0 sein muss leuchtet mir auch ein, bzw. ergibt sich, wenn man für x eine Zahl < 0 einsetzt. Aber [mm] \bruch{3}{2} \ge [/mm] x ?? Die Ungleichung stimmt auch, wenn ich eine Zahl größer als [mm] \bruch{3}{2} [/mm] einsetze! Ich weiß einfach nicht, was ich hier falsch mache bzw. übersehe und hoffe wirklich, dass mir hier jemand weiterhelfen kann!
Grüße
P.S.: Ich wusste nicht genau, in welche Rubrik ich das schreiben soll. Ich studiere Informatik an einer Uni und das ist eine Aufgabe aus der VL Höhere Mathematik, falls das was bringt. :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Tobias!
Danke erstmal für deine schnelle Antwort! :) Allerdings ist der Groschen bei mir noch nicht so ganz gefallen, ich hab jetzt Mal die Fallunterscheidung gemacht und lande aber jedes mal wieder bei [mm] \bruch{3}{2} [/mm] , nur eben mit umgedrehtem größer-gleich-Zeichen. Da aber x sowohl kleiner als auch größer als [mm] \bruch{3}{2} [/mm] sein kann, damit die Ungleichung stimmt, verstehe ich noch nicht wirklich, wie mir das jetzt weiterhilft...
Kann aber auch sein, dass ich jetzt schon so lange auf diese Aufgabe starre, dass ich einfach TOTAL auf dem Schlauch stehe. :D
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Hallo HoagsObject,
> Hi Tobias!
> Danke erstmal für deine schnelle Antwort! :) Allerdings
> ist der Groschen bei mir noch nicht so ganz gefallen, ich
> hab jetzt Mal die Fallunterscheidung gemacht und lande aber
> jedes mal wieder bei [mm]\bruch{3}{2}[/mm] , nur eben mit
> umgedrehtem größer-gleich-Zeichen. Da aber x sowohl
> kleiner als auch größer als [mm]\bruch{3}{2}[/mm] sein kann, damit
> die Ungleichung stimmt, verstehe ich noch nicht wirklich,
> wie mir das jetzt weiterhilft...
>
Die Ergebnisse, die Du bekommst, sind mit dem betreffenden Fall zu verbinden.
> Kann aber auch sein, dass ich jetzt schon so lange auf
> diese Aufgabe starre, dass ich einfach TOTAL auf dem
> Schlauch stehe. :D
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort, aber jetzt bin ich komplett verwirrt.
Ich rechne das also für jeden Fall durch und setze jeweils (1-x) bzw. -(1-x) ein und das, was ich dann rausbekomme, prüfe ich dann mit der ursprünglichen Ungleichung?? Für (1-x) < 0 komme ich aber auf 2x² - x + 2 [mm] \le [/mm] 0 und das kann doch weder kleiner als noch genau Null werden? Und für (1-x) [mm] \ge [/mm] 0 lande ich wieder bei [mm] \bruch{3}{2} \ge [/mm] x , womit ich wieder bei meinem ursprünglichen Problem wäre....
Obwohl ich die beiden anderen Teilaufgaben mit Fallunterscheidung lösen konnte macht diese hier gerade absolut keinen Sinn für mich und ich weiß nichtmal wieso. :D
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Hallo HoagsObject,
ich dachte immer, hoax schriebe man mit x... 
Mal von vorne. Wir haben:
[mm] 2x+\bruch{1}{1-x}\ge{1}
[/mm]
[mm] x\not=1 [/mm] hattest Du richtig erkannt.
Dann gibt es jetzt zwei Fälle:
Fall 1: x<1
Dann ist 1-x>0; die Ungleichung lässt sich durch Multiplikation mit (1-x) umformen zu
[mm] $2x-2x^2+1\ge 1-x\quad\Rightarrow\quad x(2x-3)\le0$
[/mm]
Dies ist erfüllt für [mm] 0\le x\le\bruch{3}{2}
[/mm]
Da wir aber gerade nur x<1 betrachten, resultiert aus diesem Fall nur das Lösungsintervall [mm] $0\le [/mm] x<1$.
Fall 2: x>1, also 1-x<0
Nach Umformung ergibt sich [mm] $x(2x-3)\ge0$
[/mm]
Dies ist erfüllt für [mm] x\le0 [/mm] und für [mm] x\ge\bruch{3}{2}
[/mm]
Hier bleibt also nur das Intervall [mm] x\ge\bruch{3}{2} [/mm] übrig.
Jetzt musst Du nur noch die beiden übriggebliebenen Intervalle - eins aus Fall 1 und eins aus Fall 2 - zu einer Lösungsmenge vereinigen.
Grüße
reverend
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Hi! :)
Nein, es schreibt sich Hoag's Objekt, nach ihrme Entdecker Art Hoag. :D
Okay, das leuchtet jetzt wiederum komplett ein. Das bedeutet also im Endeffekt, mit den Ergebnissen aus Fall 1 & 2, dass x [mm] \ge [/mm] 0 sein muss, x [mm] \not= [/mm] 1 immer noch gilt und ansonsten aber bis + [mm] \infty [/mm] reicht? Da ja in Fall zwei x auch [mm] \ge \bruch{3}{2} [/mm] sein darf?
Also quasi: [mm] \IL [/mm] = { [mm] \IN_{0} [/mm] \ 1 } (oder so.. xD)
Vielen Dank für die Hilfe!!!
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Hallo, nach deiner Lösungsmenge könntest du z.B. 1,25 einsetzen, [mm] -1,5\ge1, [/mm] für 1,25 ist die Ungleichung aber nicht erfüllt, du bekommst aus dem 1. Fall [mm] 0\le [/mm] x<1, aus dem 2. Fall [mm] x>\bruch{3}{2}
[/mm]
skizziere dir die beiden Intervalle auf einem Zahlenstrahl, dann die beiden Mengen vereinigen, Steffi
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Ah, i see! :D
Vielen, vielen Dank! Hab nun endlich den Durchblick! :)
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