Lösung im Stark-Buch? < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Da ich mit einem Stark Buch "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik" übe, verzweifle ich manchmal an den Lösungen. Hier die Aufgabe samt Lösung:
Aufgabe: Karl ist Aufsichtsratsvorsitzender der Firma G. Neben ihm gehören noch vier Damen und vier Herren dem Gremium an. Bei ihren Sitzungen nehmen die neun Personen an einem runden Tisch teil.
a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Sitzordnung gibt es, wenn
(1) keine Einschränkungen gelten?
Lösung: An einem runden Tisch gibt es für n Personen n!/n = (n-1)! Möglichkeiten, weil n "Anfänge" wegfallen
Meine Fragen: WARUM gibt es denn für n Personen an einem runden Tisch nur (n-1)! Mgl., warum nicht wie gewöhnlich n! ? Was heißt "weil "n Anfänge wegfallen"? Jedem, der mir einen brauchbaren Ansatz schickt, bin ich sehr dankbar :).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Sa 12.02.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo Katarina 1985!
In solchen Situationen versuche ich, die Zusammenhänge mit einer kleineren Zahl von Elementen zu erkennen.
Nehmen wir zum Beispiel 3 Personen A, B und C. Wenn sie neben einander sitzen, wie zum Beispiel im Kino, dann gibt es die uns bekannten 3! = 6 Möglichkeiten:
A B C B A C C A B
A C B B C A C B A
An einem runden Tisch sieht es jedoch anders aus:
Die Beziehung (Relation) [mm]X \to Y[/mm] zwischen den drei Personen unter einander kann zum Beispiel mit "X hat als Nachbar auf seiner linken Seite Y" ausgedrückt werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schauen wir nun die sechs Figuren an:
1 [mm] \quad[/mm] [mm]Figur\;1: \quad A \to B \to C \to A[/mm]
2 [mm] \quad[/mm] [mm]Figur\;2: \quad A \to C \to B \to A[/mm]
3 [mm] \quad[/mm] [mm]Figur\;3: \quad B \to A \to C \to B[/mm]
4 [mm] \quad[/mm] [mm]Figur\;4: \quad B \to C \to A \to B[/mm]
5 [mm] \quad[/mm] [mm]Figur\;5: \quad C \to A \to B \to C[/mm]
6 [mm] \quad[/mm] [mm]Figur\;6: \quad C \to B \to A \to C[/mm]
Nun ist die Sitzanordnung beim Tisch 1 gleich wie beim Tisch 4 und beim Tisch 5:
B sitzt links von A, C links von B und A links von C. Damit fallen zwei Sitzordnungen weg.
Analog ist es bei den Tischen 2, 3 und 6. Auch da fallen zwei Sitzordnungen weg.
Statt 6 wie auf einer Reihe gibt es jetzt nur 2 verschiedene Sitzordnungen, weil es "keine Anfänge" hat:
Anzahl Sitzordnungen an einem runden Tisch bei drei Personen:
[mm]a= \bruch{3!}{3}= \bruch{6}{3}=2[/mm]
Allgemein also:
[mm]a= \bruch{n!}{n}= \bruch{n*(n-1)!}{n}=(n-1)![/mm]
Viele Grüsse
dominik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Danke schön, Dominik! Es ist sehr klar erklärt und die Grafiken haben mir auch immens geholfen. Danke auch für die Formelherleitung.
Katarina
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Hallo, ich bin's schon wieder... Kaum habe ich mich gefreut über die Lösung der vorigen Aufgabe und habe mich ans Nachdenken über die nächste gemacht, war ich schon wieder frustriert...
Die Aufgabe bezieht sich wieder auf die obige:
b) Karl sitzt heute separt, die anderen acht Mitglieder des Aufsichtsrates um den runden Tisch
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine bunte Reihe?
Lösung:
Insgesamt gibt es 8!/8=7! =5040 Möglichkeiten der Anordnung, von denen 4!*3! eine bunte Reihe bilden.
P(bunte Reihe)= [mm] \bruch{4!*3!}{7!}=.....=2,86%
[/mm]
oder aus der Überlegung auf der "Bank":
von insgesamt 8! Möglichkeiten gibt es 4!*4! Möglichkeiten der bunten Reihe, von denen eine mit Jungen und eine mit Mädchen beginnen kann.
P(bunte Reihe)= [mm] \bruch{2}{ \bruch{8!}{4!*4!}} [/mm] =2,86%
Meine Fragen sind nun:
Was genau ist eine bunte Reihe (bitte nicht lachen:) )
Wenn ich annehme, eine bunte Reihe sei eine Sitzordnung, in der auf einen Jungen ein Mädchen folgt, so wäre das eine Permutation mit Wiederholung, bei der ich dann doch die Formel n!/k1!*k2!.. etc. anwenden könnte. Das ist so, weil ja in diesem Fall egal ist, wenn Jungen oder Mädchen untereinander Platz tauschen.
WARUM lautet die Lösung im Buch völlig anders? Wieso wandert n nach unten? Zwar erinnert mich die Formel an Laplace Wahrscheinlichkeiten, also Mächtigkeit der günstigen Ereignisse duch Mächtigkeit Omega, aber das kann es hier doch nicht sein!
Es wäre toll, wenn sich ein ähnlich erbarmender Mensch wie Dominik findet, der es erklären könnte!
Danke
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