Loesung mit Summe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte die folgende Differentialgleichung:
y' = xy + 1
a) Setze eine Loesung der Form y(x) = [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} a_{n}x^{n} [/mm] an und bestimme die Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] durch Rekursion.
b) In welchem Bereich konvergiert die so erhanltene Potenzreihe [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendes gemacht:
y(x) = [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^n
[/mm]
=>y(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] \summe_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^n
[/mm]
=> y'(x) = [mm] \summe_{n = 1}^{\infty} [/mm] n [mm] a_{n} x^n
[/mm]
Wenn ich das nun in die Gleichung einsetze erhalte ich:
[mm] a_{0} [/mm] + [mm] \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x^n [/mm] - n [mm] x^n) [/mm] = 1
Wie erhalte ich nun daraus eine rekursive Darstellung? Bin ich ueberhaupt auf dem richtigen Weg?
Vielen Dank, Dominik.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Di 04.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dominik
> Betrachte die folgende Differentialgleichung:
> y' = xy + 1
>
> a) Setze eine Loesung der Form y(x) = [mm]\summe_{n = 0}^{\infty} a_{n}x^{n}[/mm]
> an und bestimme die Koeffizienten [mm]a_{n}[/mm] durch Rekursion.
>
> b) In welchem Bereich konvergiert die so erhanltene
> Potenzreihe [mm]\summe_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^n[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> y(x) = [mm]\summe_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^n[/mm]
>
> =>y(x) = [mm]a_0[/mm] + [mm]\summe_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^n[/mm]
ungeschickt aber noch richtig
> => y'(x) = [mm]\summe_{n = 1}^{\infty}[/mm] n [mm]a_{n} x^n[/mm]
falsch! richtig ist:
y'(x) = [mm]\summe_{n = 0}^{\infty}[/mm] n [mm]a_{n} x^(n-1}[/mm]
( Glied mit n=0 fällt weg, aber so passt es besser)
> Wenn ich das nun in die Gleichung einsetze erhalte ich:
>
> [mm]a_{0}[/mm] + [mm]\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x^n[/mm] - n [mm]x^n)[/mm] = 1
Das krieg ich auch mit deinem falschen y' nicht raus.
es gilt doch: [mm]\summe_{n = 0}^{\infty}[/mm] n [mm]a_{n} x^(n-1}=x*\summe_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^n +1[/mm]
x noch in die Summe rein multiplizieren, dann die 2 Summen subtrahieren, und nach gleichen Potenzen ordnen.
Koeffizientenvergleich: a1=1, weil nur das links ohne x steht.alles was bei [mm] x^{n} [/mm] steht muss Null sein also
2*a2-a0=0 Faktor von x; 3*a3-a1=0 Faktor von [mm] x^{2} [/mm] usw.
> Wie erhalte ich nun daraus eine rekursive Darstellung? Bin
> ich ueberhaupt auf dem richtigen Weg?
ohne die Rechenfehler ja.
Gruss leduart
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Danke, das mit der Ableitung war wirklich ungeschickt.
Ich verstehe aber noch nicht so recht, wie man auf die Rekursionsformel kommt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n [mm] a_{n} x^{n-1} [/mm] - [mm] a_{n} x^{n+1} [/mm] = 1
Jetzt [mm] a_{n} x^{n} [/mm] ausklammern (?):
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{x} [/mm] - x) [mm] a_{n} x^{n} [/mm] = 1
Oder nur [mm] x^{n} [/mm] ausklammern (?):
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n a_{n}}{x} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] x) [mm] x^{n} [/mm] = 1
Wo ist denn in der Rekursion das x verschwunden, das kann ich nicht ausklammern!?
Vielen Dank, Dominik.
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Ok, soweit hab ichs verstanden, galaube ich, danke. Sehe ich dann das richtig, dass jetzt nur jeder 2te Term in der Summe definiert ist? Kann ich denn jetzt ueberhaupt bestimmen, ob das Teil konvergiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 08.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
guck noch mal genauer hin, es sind alle def.
Gruss leduart
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