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Forum "Zahlentheorie" - Lösung quadratischer Kongruenz
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Lösung quadratischer Kongruenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:51 So 23.09.2012
Autor: Anfaenger101

Aufgabe
Es seien p, q zwei verschiedene ungerade Primzahlen mit [mm] (\bruch{p}{q}) [/mm] = 1, wobei [mm] (\bruch{p}{q}) [/mm] das Legendre Symbol bezeichne.

Finden Sie eine Lösung für [mm] x^{2} \equiv [/mm] p (mod q)

Hallo Leute,

mir kommt diese Aufgabe etwas suspekt vor, da ich nicht weiß, wie ich das systematisch lösen soll.
Mir würde nur Rumprobiererei einfallen, aber ich denke, dass kann und sollte es nicht sein.

Hätte jemand einen Tipp für mich, wie ich hier vorgehen soll?
Kann man evtl. das quadratische Reziprozitätsgesetz irgendwie einfliesen lassen?

Viele Grüße

Anfänger

        
Bezug
Lösung quadratischer Kongruenz: halbe Lösung...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Mo 24.09.2012
Autor: reverend

Hallo Anfänger,

ich habe leider nur eine Lösung für [mm] q\equiv 3\mod{4}. [/mm]

> Es seien p, q zwei verschiedene ungerade Primzahlen mit
> [mm](\bruch{p}{q})[/mm] = 1, wobei [mm](\bruch{p}{q})[/mm] das Legendre
> Symbol bezeichne.
>
> Finden Sie eine Lösung für [mm]x^{2} \equiv[/mm] p (mod q)
>  Hallo Leute,
>
> mir kommt diese Aufgabe etwas suspekt vor, da ich nicht
> weiß, wie ich das systematisch lösen soll.
> Mir würde nur Rumprobiererei einfallen, aber ich denke,
> dass kann und sollte es nicht sein.
>
> Hätte jemand einen Tipp für mich, wie ich hier vorgehen
> soll?
> Kann man evtl. das quadratische Reziprozitätsgesetz
> irgendwie einfliesen lassen?

Es ist [mm] \left(\bruch{p}{q}\right)\equiv p^{\bruch{1}{2}(q-1)}\equiv 1\mod{q} [/mm]

Gesucht ist ein x mit [mm] x^2\equiv p\equiv p*1\equiv p*p^{\bruch{1}{2}(q-1)} \equiv p^{\bruch{1}{2}(q+1)} \mod{q} [/mm]

Für [mm] q\equiv 3\mod{4} [/mm] ist [mm] \tfrac{1}{2}(q+1) [/mm] gerade, und damit ist [mm] x\equiv p^{\bruch{1}{4}(q+1)}\mod{q} [/mm] eine gültige Lösung.

***

Bleibt also noch [mm] q\equiv 1\mod{4} [/mm] zu untersuchen.
Dazu habe ich bisher keinen Einfall.
Immerhin wissen wir für diesen Fall: [mm] \left(\bruch{p}{q}\right)=\left(\bruch{q}{p}\right)=1 [/mm]

Also ist auch [mm] q\mod{p} [/mm] ein quadratischer Rest.
Ich weiß nicht, ob das für die Aufgabe weiterhilft.
Darum lasse ich sie auf "teilweise beantwortet" stehen.

Du findest übrigens leicht Beispiele wie (p,q)=(13,17), an denen Du einen Lösungsweg versuchen kannst. Hier sind x=8 und x=9 Lösungen. Für (p,q)=(11,37) sind x=14 und x=23 Lösungen.

Viel Erfolg!
reverend


Bezug
                
Bezug
Lösung quadratischer Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Mo 24.09.2012
Autor: felixf

Moin rev,

> ich habe leider nur eine Lösung für [mm]q\equiv 3\mod{4}.[/mm]

das ist der einfache Teil ;-) Dort braucht man auch gar nicht, dass $p$ eine Primzahl ist.

Zum interessanten Fall ($q [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$) [/mm] habe ich keinerlei Idee... Ich glaube eher, dass das gar nicht allgemein geht -- es sei denn man laesst $x = [mm] \min\{ z \in \IN \mid z^2 \equiv p \pmod{q} \}$ [/mm] zu ;-)

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Lösung quadratischer Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Mo 24.09.2012
Autor: Anfaenger101

Hallo ihr Beiden,

erstmal Danke, dass ihr euch so schnell gerührt habt.
Der Fall q [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 ist soweit sehr einleuchtend.

Beim zweiten Fall seh ich irgendwie auch keine Möglichkeit, wie man da allgemein eine Lösung angeben soll. Wenn in den nächsten Tagen keiner ne Idee dazu hat, werd ich wohl doch mal beim Professor nachfragen müssen, ob das überhaupt geht.

Auf jeden Fall Danke soweit :-)

Viele Grüße

Anfänger

Bezug
                        
Bezug
Lösung quadratischer Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:03 Di 25.09.2012
Autor: reverend

Moin Felix,

> > ich habe leider nur eine Lösung für [mm]q\equiv 3\mod{4}.[/mm]
>  
> das ist der einfache Teil ;-) Dort braucht man auch gar
> nicht, dass [mm]p[/mm] eine Primzahl ist.

Wohl wahr. Sowohl die Einfachheit als auch die weiterreichende Gültigkeit.

> Zum interessanten Fall ([mm]q \equiv 1 \pmod{4}[/mm]) habe ich
> keinerlei Idee... Ich glaube eher, dass das gar nicht
> allgemein geht

Den Eindruck habe ich auch.

> -- es sei denn man laesst [mm]x = \min\{ z \in \IN \mid z^2 \equiv p \pmod{q} \}[/mm]
> zu ;-)

Oh, meine Lieblingsaufgaben haben alle die Form "wenn Du schon eine Lösung hast, dann zeige, dass es eine Lösung gibt und bestimme sie." :-)

lg
rev


Bezug
        
Bezug
Lösung quadratischer Kongruenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 27.09.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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