Lösung von Gleichungssystem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Sa 02.02.2013 | | Autor: | JanSurf |
| Aufgabe | Übungsaufgabe 11 (Adverse Selektion – Screening)
Nach seiner Genesung steigt Paul wieder in das Unternehmen ein, wobei Vater und Sohn nun die Geschäftsführungseinheit P bilden. Beflügelt und mit neuer Kraft versuchen die beiden, ihr Unternehmen zu modernisieren und führen die neue Produktlinie „iRobot“ ein, Roboter, die die Mitarbeiter selbständig mit Kaffee und Snacks versorgen können. Gehen Sie davon aus, dass das Unternehmen weltweit der einzige Produzent dieser Art von Robotern ist und P daher als Monopolist betrachtet werden kann. Untersucht wird der Verkauf an einen repräsentativen Konsumenten A. Die Geschäftsführer überlegen nun welchen (Gesamt-)Preis T > 0 sie verlangen sollen, damit ihr Gewinn so groß wie möglich wird. Zudem müssen sie festlegen, wie viele Sprachen „iRobot“ können soll. Je höher diese Anzahl q > 0 ist, umso höher sind die Entwicklungskosten C(q) = cq mit c > 0. Gleichzeitig generieren mehr Sprachen den Konsumenten aber mehr Nutzen. Bei ihrer Entscheidung müssen die Geschäftsführer berücksichtigen, dass es zwei verschiedene Typen von Konsumenten gibt, die sich durch ihre Zahlungsbereitschaften unterscheiden. Dabei bezeichnet [mm] \tilde \phi [/mm] = { [mm] \phi_{L}; \phi_{H} [/mm] } mit [mm] \phi_{L} [/mm] = 1 und [mm] \phi_{H} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] den Parameter, der die Zahlungsbereitschaft des jeweiligen Typen wiedergibt. Der Typ H [mm] \phi_{H} [/mm] tritt mit der Wahrscheinlichkeit p auf. Die Nutzenfunktion eines repräsentativen Konsumenten in Abhängigkeit von der Zahlungsbereitschaft lautet [mm] U(q,T,\tilde \phi) [/mm] = [mm] \tilde \phi\wurzel{q}-T [/mm] . Beide Typen haben einen einheitlichen Reservationsnutzen [mm] \underline{U} [/mm] = 0.
a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass P bei Abschluss des Kaufvertrags den Typ des Konsumenten kennt. Stellen Sie zunächst das Maximierungsproblem von P allgemein für einen beliebigen Kundentyp [mm] \tilde \phi [/mm] auf und berechnen Sie hiermit die in dieser Situation optimalen Mengen und Preise in Abhängigkeit von [mm] \tilde \phi. [/mm] Wie lautet demzufolge das optimale Vertragspaar [mm] \{(q_{L}\*,T_{L}\*);(q_{H}\*,T_{H}\*)\}?
[/mm]
b) Gehen Sie nun davon aus, dass P den Typ des Konsumenten bei Abschluss des Kaufvertrages nicht kennt. Wird er dann immer noch das unter a) berechnete Vertragspaar anbieten? Begründen Sie Ihre Aussage.
c) P denkt nun darüber nach, sein Informationsproblem dadurch zu lösen, dass er ein Vertragsmenü anbietet, das den Konsumenten dazu bringt, freiwillig seinen wirklichen Typ zu offenbaren. Stellen Sie für diese Situation das vollständige Maximierungsproblem von P auf und erläutern Sie kurz, wie dieses noch vereinfacht werden kann. Welche grundsätzliche Aussage bezüglich der optimalen Anzahl an Sprachen ist bereits ohne explizite Lösung möglich?
d) Lösen Sie das unter c) aufgestellte (vereinfachte) Maximierungsproblem und geben Sie das resultierende optimale Vertragsmenü [mm] \{(q_{L}\*\*,T_{L}\*\*);(q_{H}\*\*,T_{H}\*\*)\} [/mm] an. Vergleichen Sie dieses Vertragspaar mit den optimalen Verträgen aus Aufgabe a) und erläutern Sie kurz, wie es zu diesem Ergebnis kommt. |
Hallo Nochmal Matheraum Community!
Ich habe eine Frage zum Aufgabenteil d):
Ich habe mein Gleichungssystem aufgestellt, komme aber partout nicht auf eine ordentliche Lösung, kann mir da Jemand helfen?
[mm] k=\wurzel{2}
[/mm]
Lagrangefunktion:
[mm] L=p(T_{H}-c q_{H})+(1-P)(T_{L}-c q_{L})+\lambda(\wurzel{q_{L}}-T_{L})+\mu(k\wurzel{q_{H}}-T_{H}-k\wurzel{q_{L}}+T_{L})+\beta(\wurzel{q_{L}}-T_{L}-\wurzel{q_{H}}+T_{H})
[/mm]
Gleichungssystem:
I. [mm] \bruch{\partial L}{\partial q_{L}} [/mm] = -(1-P)c + [mm] \bruch{\lambda}{2\wurzel{q_{L}}} [/mm] - [mm] \bruch{k\mu}{2\wurzel{q_{L}}} [/mm] + [mm] \bruch{\beta}{2\wurzel{q_{L}}} [/mm] = 0
II. [mm] \bruch{\partial L}{\partial T_{L}} [/mm] = (1-P) - [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] - [mm] \beta [/mm] = 0
III. [mm] \bruch{\partial L}{\partial q_{H}} [/mm] = -pc + [mm] \bruch{k\mu}{2\wurzel{q_{H}}} [/mm] - [mm] \bruch{\beta}{2\wurzel{q_{H}}} [/mm] = 0
IV. [mm] \bruch{\partial L}{\partial T_{H}} [/mm] = p - [mm] \mu [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 0
V. [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = [mm] \wurzel{q_{L}}-T_{L} [/mm] = 0
VI. [mm] \bruch{\partial L}{\partial \mu} [/mm] = [mm] k\wurzel{q_{H}}-T_{H}-k\wurzel{q_{L}}+T_{L} [/mm] = 0
VII. [mm] \bruch{\partial L}{\partial \beta} [/mm] = [mm] \wurzel{q_{L}}-T_{L}-\wurzel{q_{H}}+T_{H} [/mm] = 0
Vielen Dank für eure Hilfe,
Grüße
Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Sa 02.02.2013 | | Autor: | JanSurf |
Ich wollte nur eben wissen, ob ich meine Fragen vielleicht im falschen Forenteil stelle? Kommt deshalb keine Antwort/Idee?
lg Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ich wollte nur eben wissen, ob ich meine Fragen vielleicht
> im falschen Forenteil stelle? Kommt deshalb keine
> Antwort/Idee?
ich habe deinen Thread mal nach Mathematik verschoben, bitte aber um Verständnis, dass es dann auch mal eine Weile dauert. Es geht ja nicht um Dreisatzrechnung sondern um mehrdimensionale Analysis. Es ist Samstag, da haben die User sicher auch noch das eine oder andere um die Ohren (ich selbst habe jetzt auch nicht mehr die Zeit, mich in deine Frage einzulsesen). Aber es wird sicherlich eine Antwort kommen, habe einfach etwas Geduld. Mit der Wahl des Forums hat das auch nichts zu tun, denn die Liste der offenen Fragen ist ja nicht nach Unterforen sortiert.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Sa 02.02.2013 | | Autor: | JanSurf |
Vielen Dank!
Eigentlich bin ich ein sehr geduldiger Mensch. Nur wollte ich vermeiden nach 2 Tagen zu merken, dass meine Fragen einfach nicht an der richtigen Stelle im Forum gestellt sind; Deswegen vielleicht ignoriert werden.
Grüße Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 So 03.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu deinem Text und ob du den richtig umgesetzt hast kann ich nichts sagen.
ist P und p dasselbe?
dann ist dich direkt :
V. $ [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{q_{L}}-T_{L} [/mm] $ = 0
VI. $ [mm] \bruch{\partial L}{\partial \mu} [/mm] $ = $ [mm] k\wurzel{q_{H}}-T_{H}-k\wurzel{q_{L}}+T_{L} [/mm] $ = 0
VII. $ [mm] \bruch{\partial L}{\partial \beta} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{q_{L}}-T_{L}-\wurzel{q_{H}}+T_{H} [/mm] $ = 0
aus V. [mm] \wurzel{q_{L}}=T_{L}
[/mm]
damit aus VII [mm] \wurzel{q_{H}}=T_{H}
[/mm]
damit aus VI k=1 oder [mm] T_H=T_L
[/mm]
weiter aus IV [mm] p=\mu-\beta
[/mm]
und damit aus II p=1 (falls p=P)
erst mal so weit. ob alldas irgendeinen Sinn macht kann ich nicht sagen, versteh aber deine Schwierigkeiten nicht.
Gruss leduart
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