Lösungen der DGL bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 06.08.2013 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden DGL
[mm] u'=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 0 } [/mm] u |
Hallo zusammen,
bei der Klausurvorbereitung bin ich auf die oben angegebene Aufgabe gestoßen, deren Lösen mir allerdings Probleme bereitet.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Ich habe zuächst die Eigenwerte bestimmt. Diese sind 2 (doppelt) und -3 (einfach).
Anschließend wollte ich die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen. Bei dem Eigenwert -3 war dies auch kein Problem und ich habe den Vektor [mm] v=\vektor{1 \\ -5 \\ 4} [/mm] erhalten.
Der doppelte Eigenwert bereitet mir jedoch Schwierigkeiten. Denn löse ich dazu allgemein das System
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 } [/mm]
um meinen Eigenvektor zu erhalten, so erhalte ich ja nur einen, nämlich zum Beispiel
[mm] v=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich stehe gerade auf dem Schlauch, wie ich einen zweiten Vektor finden kann, denn diesen benötige ich ja um meine allgemeine Lösung aufzustellen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße und schonmal vielen Dank im Voraus!
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Hallo Pia90,
> Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden DGL
> [mm]u'=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 0 }[/mm] u
> Hallo zusammen,
>
> bei der Klausurvorbereitung bin ich auf die oben angegebene
> Aufgabe gestoßen, deren Lösen mir allerdings Probleme
> bereitet.
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
> Ich habe zuächst die Eigenwerte bestimmt. Diese sind 2
> (doppelt) und -3 (einfach).
>
> Anschließend wollte ich die zugehörigen Eigenvektoren
> bestimmen. Bei dem Eigenwert -3 war dies auch kein Problem
> und ich habe den Vektor [mm]v=\vektor{1 \\ -5 \\ 4}[/mm] erhalten.
>
> Der doppelte Eigenwert bereitet mir jedoch Schwierigkeiten.
> Denn löse ich dazu allgemein das System
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }[/mm]
> um meinen Eigenvektor zu erhalten, so erhalte ich ja nur
> einen, nämlich zum Beispiel
> [mm]v=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Ich stehe gerade auf dem Schlauch, wie ich einen zweiten
> Vektor finden kann, denn diesen benötige ich ja um meine
> allgemeine Lösung aufzustellen.
>
Bestimme einen Vektor der in [mm]\operatorname{Kern}\left(\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }*\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }\right)[/mm] liegt
und auf den Vektor v abgebildet wird.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Liebe Grüße und schonmal vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 06.08.2013 | | Autor: | Pia90 |
> Hallo Pia90,
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> > Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden DGL
> > [mm]u'=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 0 }[/mm] u
> > Hallo zusammen,
> >
> > bei der Klausurvorbereitung bin ich auf die oben angegebene
> > Aufgabe gestoßen, deren Lösen mir allerdings Probleme
> > bereitet.
> >
> > Ich bin wie folgt vorgegangen:
> > Ich habe zuächst die Eigenwerte bestimmt. Diese sind 2
> > (doppelt) und -3 (einfach).
> >
> > Anschließend wollte ich die zugehörigen Eigenvektoren
> > bestimmen. Bei dem Eigenwert -3 war dies auch kein Problem
> > und ich habe den Vektor [mm]v=\vektor{1 \\ -5 \\ 4}[/mm] erhalten.
> >
> > Der doppelte Eigenwert bereitet mir jedoch Schwierigkeiten.
> > Denn löse ich dazu allgemein das System
> > [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }[/mm]
> > um meinen Eigenvektor zu erhalten, so erhalte ich ja nur
> > einen, nämlich zum Beispiel
> > [mm]v=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> >
> > Ich stehe gerade auf dem Schlauch, wie ich einen zweiten
> > Vektor finden kann, denn diesen benötige ich ja um meine
> > allgemeine Lösung aufzustellen.
> >
>
>
> Bestimme einen Vektor der in
> [mm]\operatorname{Kern}\left(\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }*\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }\right)[/mm]
> liegt
> und auf den Vektor v abgebildet wird.
>
>
> > Kann mir jemand weiterhelfen?
> >
> > Liebe Grüße und schonmal vielen Dank im Voraus!
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke schonmal für den Hinweis! Aber auf die Gefahr hin, mich jetzt zu blamieren: ich bekomms noch nicht so ganz hin...
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }\cdot{}\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -3 & 2 \\ -10 & 15 & -10 \\ 8 & -12 & 8}
[/mm]
Um den Kern davon zu bestimmen, muss ich das doch gleich 0 setzen, oder?
Das ergäbe (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} s - t \\ 0 & 1 & 0 & s\\ 0 & 0 & 1 & t}
[/mm]
Mit t=1 und s=2, wäre ein möglicher Vektor also w = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Allerdings verstehe ich deinen Hinweis noch nicht so ganz, dass ich einen Vektor aus dem Kern finden soll, der auf v abgebildet wird. Könntest du mir das vielleicht noch genauer erläutern?
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Hallo Pia90,
> > Hallo Pia90,
> >
> > > Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden DGL
> > > [mm]u'=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 0 }[/mm] u
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > bei der Klausurvorbereitung bin ich auf die oben angegebene
> > > Aufgabe gestoßen, deren Lösen mir allerdings Probleme
> > > bereitet.
> > >
> > > Ich bin wie folgt vorgegangen:
> > > Ich habe zuächst die Eigenwerte bestimmt. Diese
> sind 2
> > > (doppelt) und -3 (einfach).
> > >
> > > Anschließend wollte ich die zugehörigen Eigenvektoren
> > > bestimmen. Bei dem Eigenwert -3 war dies auch kein Problem
> > > und ich habe den Vektor [mm]v=\vektor{1 \\ -5 \\ 4}[/mm] erhalten.
> > >
> > > Der doppelte Eigenwert bereitet mir jedoch Schwierigkeiten.
> > > Denn löse ich dazu allgemein das System
> > > [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }[/mm]
> > > um meinen Eigenvektor zu erhalten, so erhalte ich ja nur
> > > einen, nämlich zum Beispiel
> > > [mm]v=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> > >
> > > Ich stehe gerade auf dem Schlauch, wie ich einen zweiten
> > > Vektor finden kann, denn diesen benötige ich ja um meine
> > > allgemeine Lösung aufzustellen.
> > >
> >
> >
> > Bestimme einen Vektor der in
> > [mm]\operatorname{Kern}\left(\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }*\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }\right)[/mm]
> > liegt
> > und auf den Vektor v abgebildet wird.
> >
> >
> > > Kann mir jemand weiterhelfen?
> > >
> > > Liebe Grüße und schonmal vielen Dank im Voraus!
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke schonmal für den Hinweis! Aber auf die Gefahr hin,
> mich jetzt zu blamieren: ich bekomms noch nicht so ganz
> hin...
>
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }\cdot{}\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 2 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 2 & -3 & 2 \\ -10 & 15 & -10 \\ 8 & -12 & 8}[/mm]
>
> Um den Kern davon zu bestimmen, muss ich das doch gleich 0
> setzen, oder?
> Das ergäbe (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} s - t \\ 0 & 1 & 0 & s\\ 0 & 0 & 1 & t}[/mm]
>
> Mit t=1 und s=2, wäre ein möglicher Vektor also w =
> [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
Ok, das ist ein möglicher Vektor.
> Allerdings verstehe ich deinen Hinweis noch nicht so ganz,
> dass ich einen Vektor aus dem Kern finden soll, der auf v
> abgebildet wird. Könntest du mir das vielleicht noch
> genauer erläutern?
Um eine zweite linear unabhängige Lösung zu der Lösung
[mm]\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}e^{2t}[/mm]
zu finden, macht man den Ansatz
[mm]u\left(t\right)=\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2t}[/mm]
Wird dieser Ansatz in die gegebene DGL
[mm]u'=Au[/mm]
eingesetzt, so ergeben sich durch Koeffizientenvergleich
folgende Bedingungen:
[mm]2*\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=A\overrightarrow{a}[/mm]
[mm]2*\overrightarrow{b}=A\overrightarrow{b}[/mm]
bzw.
[mm]\overrightarrow{b}=\left(A-2E\right)\overrightarrow{a}[/mm]
[mm]\overrightarrow{0}=\left(A-2E\right)\overrightarrow{b}[/mm]
,wobei E die Einheitsmatrix ist.
Gruss
MathePower
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