Lösungen mit Zwischenwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Mo 22.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen
[mm]f(x)=2+lnx[/mm] und [mm]g(x)=\frac{e^x}{e^2}[/mm] auf dem Defintionsbereich [mm] (0,+\infty).
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x)=g(x) im Definitionsbereich
mindestens zwei Lösungen besitzt. (Zeigen Sie mit dem
Zwischenwertsatz, dass f - g zwei Nullstellen hat.) |
Guten Abend!
Ich weiss zwar, was der Zwischenwertsatz mit Worten aussagt, und auch nur beszogen auf eine einzige Funktion, aber wie das rechnerisch geht und dann auch noch bezogen auf 2 Funktionen, da weiss ich schon wieder nicht, wo hinten und vorne ist. Kann mir jemand helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Mo 22.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
keine Panik 
> Gegeben seien die Funktionen
>
> [mm]f(x)=2+lnx[/mm] und [mm]g(x)=\frac{e^x}{e^2}[/mm] auf dem
> Defintionsbereich [mm](0,+\infty).[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x)=g(x) im
> Definitionsbereich
> mindestens zwei Lösungen besitzt. (Zeigen Sie mit dem
> Zwischenwertsatz, dass f - g zwei Nullstellen hat.)
> Guten Abend!
>
> Ich weiss zwar, was der Zwischenwertsatz mit Worten
> aussagt, und auch nur beszogen auf eine einzige Funktion,
> aber wie das rechnerisch geht und dann auch noch bezogen
> auf 2 Funktionen, da weiss ich schon wieder nicht, wo
> hinten und vorne ist. Kann mir jemand helfen?
>
> LG
Mach' doch einfach eine Funktion draus.
[mm] f(x)=g(x)\gdw{f(x)-g(x)=0}
[/mm]
[mm] f(x)-g(x)=2+ln(x)-\frac{e^x}{e^2}=0
[/mm]
Jetzt definierst du dir [mm] h(x):=2+ln(x)-\frac{e^x}{e^2}
[/mm]
und zeigst mithilfe des ZWS, dass [mm] \math{h} [/mm] zwei Nullstellen hat. Jetzt hast du nur noch die Funktion [mm] \math{h}.
[/mm]
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mo 22.06.2009 | | Autor: | equity |
Guten Morgen :)
Ja, soweit habe ich mir das auch gedacht, aber wie wende ich den ZWS denn an? Ich setze doch einfach irgendwelche Werte aus dem Intervall ein und gucke, was mit den Vorzeichen passiert. Also, wenn f(a)*f(b)<0, dann existiert mindestens eine Nullstelle. Aber wie zeige ich denn, dass mindestens 2 Nullstellen existieren?
Ach ja, wir sollen übrigens auf die Nutzung eines Taschenrechners verzichten :)
LG
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> Guten Morgen :)
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> Ja, soweit habe ich mir das auch gedacht, aber wie wende
> ich den ZWS denn an? Ich setze doch einfach irgendwelche
> Werte aus dem Intervall ein und gucke, was mit den
> Vorzeichen passiert. Also, wenn f(a)*f(b)<0, dann existiert
> mindestens eine Nullstelle. Aber wie zeige ich denn, dass
> mindestens 2 Nullstellen existieren?
> Ach ja, wir sollen übrigens auf die Nutzung eines
> Taschenrechners verzichten :)
>
> LG
Hallo equity,
Skizzier dir doch mal die Graphen der beiden
Funktionen f und g. Dies sollte auch ohne
Rechner zu machen sein. Jede dieser Kurven
entsteht aus einer Standardkurve durch eine
einfache Transformation ... Auch der Zahlenwert
von e und die Rechenregeln für Potenzen sind
dir (hoffentlich) bekannt.
An der Skizze kannst du dann erkennen, wo
geeignete x-Werte für "Vorzeichensondierungen"
liegen könnten. Wichtig für den ZWS sind natürlich
auch die Stetigkeitseigenschaften der Funktionen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 22.06.2009 | | Autor: | equity |
Die Zeichnung für f(x)-g(x)=0 habe ich ja schon gemacht. Reicht als Antwort denn aus, dass man an der Zeichnung erkennen kann, dass mindestens zwei Nullstellen existieren?
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Hallo equitiy,
> Die Zeichnung für f(x)-g(x)=0 habe ich ja schon gemacht.
> Reicht als Antwort denn aus, dass man an der Zeichnung
> erkennen kann, dass mindestens zwei Nullstellen existieren?
Nein, natürlich nicht, aber suche anhand der Zeichnung 3 x-Werte [mm] $x_1,x_2x_3$ [/mm] mit [mm] $x_10, f(x_3)-g(x_3)<0$, [/mm] dann folgt mit dem ZWS für die stetige Funktion $f-g$ was? ...
LG
schachuzipus
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