Lösungsgesamtheit eine LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:06 Mo 28.01.2013 | | Autor: | amarus |
| Aufgabe | Prüfe das LGS auf Lösbarkeit, und berechne gegebenenfalls deren Lösungsgesamtheit:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 = 2 \\ 1 & 4 & -5 & 1 & 3 = 1 \\ 3 & 2 & 5 & 2 & 2 =12 \\ 2 & -2 & 10 & 1 & -1 =11 } [/mm] |
Als erstes möchte ich die spezielle Lösung bestimmen. Dazu habe ich das LGS auf Zeilenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 = 2 \\ 0 & 2 & -4 & 1 & 2 = -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 3 =4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 3 =4 } [/mm]
Unsere Dozentin meinte, es wäre sinnvoller immer nur wirklich einstufige LGS als Zwischenergebnis zu erhalten, daraus folgend habe ich die Spalte x3 -> x5 ; x4 -> x3 und x5-x4 gesetzt ! Durch weitere Operationen erhält man dann folgendes LGS:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 1 & -1 = 2 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & -4 = -1 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 =4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 = 0 } [/mm]
Daraus kann ich ja folgern, dass rg(A) = rg(A|b) = 3 ist, also hat das LGS eine Lösung. Da die Anzahl der Variablen fünf beträgt, der rg(A|b) nur 3, sind x4 und x5 = 0 ! Wenn ich also x3 ausrechne erhalte ich 1, x2 ist wieder 0 und x1 ist 1 ! Somit ergibt sich als spezielle Lösung [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ! Für mich klingt das alles ziemlich eindeutig, jedoch bin ich mir absolut unsicher ob das Ergebnis so richtig ist! Könnte mir da vll. jemand helfen ? Falls es falsch ist, bin ich für jeden Ansatz dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mo 28.01.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo.
[mm][/mm]
> Prüfe das LGS auf Lösbarkeit, und berechne gegebenenfalls
> deren Lösungsgesamtheit:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 = 2 \\
1 & 4 & -5 & 1 & 3 = 1 \\
3 & 2 & 5 & 2 & 2 =12 \\
2 & -2 & 10 & 1 & -1 =11 }[/mm]
Das soll dann wohl die erweiterte Koeffizientenmatrix sein!? Diese Schreibweise kenne ich nicht. Die folgende Schreibweise ist wohl eher geläufig:
[mm]\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 4 & -5 & 1 & 3 & 1 \\
3 & 2 & 5 & 2 & 2 &12 \\
2 & -2 & 10 & 1 & -1 & 11 \end{array}\right)[/mm].
> Als erstes möchte ich die spezielle Lösung bestimmen.
> Dazu habe ich das LGS auf Zeilenstufenform gebracht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 = 2 \\
0 & 2 & -4 & 1 & 2 = -1 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 3 =4 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 3 =4 }[/mm]
Da wäre es hilfreich, du hättest uns mal deine Schritte angegeben. So müssen wir das alles nachrechnen. Nachdem du das bereits getan hast, weißt du, wie nervtötend das sein kann. Ich habe es nicht nachgerechnet!
> Unsere Dozentin meinte, es wäre sinnvoller immer nur
> wirklich einstufige LGS als Zwischenergebnis zu erhalten,
> daraus folgend habe ich die Spalte x3 -> x5 ; x4 -> x3 und
> x5-x4 gesetzt ! Durch weitere Operationen erhält man dann
> folgendes LGS:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 1 & -1 = 2 \\
0 & 2 & 1 & 2 & -4 = -1 \\
0 & 0 & 4 & 3 & 0 =4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 = 0 }[/mm]
Siehe dir mal die 3. Zeile an und vergleiche die mit deiner Zeilenstufenform oben. Was fällt auf?
>
> Daraus kann ich ja folgern, dass rg(A) = rg(A|b) = 3 ist,
> also hat das LGS eine Lösung. Da die Anzahl der Variablen
> fünf beträgt, der rg(A|b) nur 3, sind x4 und x5 = 0 !
> Wenn ich also x3 ausrechne erhalte ich 1, x2 ist wieder 0
> und x1 ist 1 ! Somit ergibt sich als spezielle Lösung
> [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0}[/mm] ! Für mich klingt das
> alles ziemlich eindeutig, jedoch bin ich mir absolut
> unsicher ob das Ergebnis so richtig ist! Könnte mir da
> vll. jemand helfen ?
Nachdem du jetzt hoffentlich den Fehler gefunden hast, auf den ich dich aufmerksam gemacht habe, setze doch einmal ein und gucke ob diese Lösung wirklich alle Gleichungen deines LGS erfüllt. (Tipp: Tut sie nicht!)
> Falls es falsch ist, bin ich für
> jeden Ansatz dankbar!
Beste Grüße,
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mo 28.01.2013 | | Autor: | amarus |
Ok Sorry! Meinte natürlich die erweiterte Koeffizientenmatrix !
Hier mal die einzelnen Schritte:
Ursprungsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 | 2 \\ 1 & 4 & -5 & 1 & 3 | 1 \\ 3 & 2 & 5 & 2 & 2 |12 \\ 2 & -2 & 10 & 1 & -1 |11 }
[/mm]
II-I ; III - 3*I ; IV - 2*I =
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 2 & -4 & 1 & 2 | -1 \\ 0 & -4 & 8 & 2 & -1 | 6 \\ 0 & -6 & 12 & 1 & -3 | 7 }
[/mm]
2.Schritt:
III + 2*II; IV + 3*II =
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 2 & -4 & 1 & 2 | -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 3 | 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 3 | 4 } [/mm]
Nun folgt die Spaltenvertauschung um die einstufige Zeilenstufenforum zu erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 1 & -1 | 2 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & -4 | -1 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 | 4 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 | 4 } [/mm]
Nun noch die IV-III =
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 1 & -1 | 2 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & -4 | -1 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 | 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 | 0 } [/mm]
> Siehe dir mal die 3. Zeile an und vergleiche die mit deiner
> Zeilenstufenform oben. Was fällt auf?
Ehrlich gesagt, fällt mir nur auf, dass ich durch die Spaltenvertauschungen eine einstufige Zeilenstufenform und nicht mehr den Sprung wie bei der Matrix in Schritt 2 ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 28.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. durch die Spaltenvertauschung hatfu auch die [mm] x_i [/mm] vertauscht
soweit ich sehe 3 nach 5, 5 nach 4 , 4 nach 3. so dass das ziemlich durcheinander kommt.
2. warum muss [mm] x_4, x_5, [/mm] die urspruenglich anders hiessen denn 0 sein_?
vor dem Vertaschen hattest du [mm] 4x_4+3x_5=4
[/mm]
nach dem vertauschen scheinbar [mm] 4x_3+3x_4=4
[/mm]
wo entsteht da 0?
da du nur noch 3 Gl fuer 5 Variable hast kannst du 2 frei waehlen, aber mit der Wahl von [mm] x_5=0 [/mm] hast du [mm] x_4=1 [/mm] usw .
auf jeden fall sollte man yur probe sein Ergebnis immer in die urspruengliche GS einsetzen
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:39 Mo 28.01.2013 | | Autor: | amarus |
zu 1&2)
Ja das ist vollkommen korrekt ! Ich habe diesen Schritt gemacht, da in einer Übungsaufgabe,meine Dozentin diesen Schritt vorgeschlagen hat ... Daran habe ich mich jetzt auch orientiert :-/ Laut der Aufgabe soll ich :
Alle [mm] x_i [/mm] > rg(A|) = 0 setzen! Da der Rang=3 ist und 5 Variablen existieren, habe ich [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] = 0 gewählt.
Sodass z.B. aus Zeile 3 sich folgende Gleichung ergibt:
[mm] 4x_3+3_x4+0=4 [/mm] // [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] sind ja = 0
= [mm] 4x_3=4
[/mm]
[mm] x_3=1
[/mm]
zu erwähnen wäre jedoch noch, dass ich ja hier die spezielle Lösung suche, im Anschluss soll ich noch die Basis bestimmen, an Ende dieser Rechnung werden die Spaltenvektoren wieder zurückgetauscht!
Danke für deine Hilfe !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mo 28.01.2013 | | Autor: | amarus |
AHHHHH ich habe meinen Fehler gefunden! [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] = 0 ist korrekt! Beim einsetzen in die dritte Zeile erhalte ich [mm] x_3=1 [/mm] und dann [mm] x_2= [/mm] -1 ! Da lag mein Fehler ! Jetzt geht das gesamte LGS auf ! Ich danke euch für die Hilfe ! Wäre ich sonst wohl nicht mehr draufgekommen  !
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