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| Aufgabe | | Stelle eine Funktion der Gleichung [mm] x^{n}=0 [/mm] mit [mm] x\in\IR [/mm] ohne Null und [mm] n\in\IN [/mm] ohne Null dar und berechne die Nullstellen (sofern sie existieren). Gib am Ende eine Lösungsmenge an. |
Nabend,
[mm] f:\IR [/mm] x [mm] \IN\to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=x^n
[/mm]
Es existieren keine Nullstellen, denn [mm] x^n\not=0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] x,n\not=0.
[/mm]
Was ist nun die Lösungsmenge?
Im Skript steht [mm] \emptyset=\{x|x\not=x\}. [/mm] Hier gilt [mm] L=\{(x,n)\in \IR x \IN | f(x,n)=0\}=\emptyset [/mm] x [mm] \emptyset [/mm] ???
Danke, LG, Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Mi 26.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
steht da wirklich stelle eine Funktion der Gleichung--- dar? welche Gleichung? funktion einer Gleichung ist das bei euch definiert?
Gruß leduart
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Hallo, da fehlte ein Gleichheitszeichen. Ich habe es hinzugefügt. tut mir leid!
LG Björn
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> Stelle eine Funktion der Gleichung [mm]x^{n}=0[/mm] mit [mm]x\in\IR[/mm] ohne
> Null und [mm]n\in\IN[/mm] ohne Null dar und berechne die Nullstellen
> (sofern sie existieren). Gib am Ende eine Lösungsmenge
> an.
>
>
>
> Nabend,
>
> [mm]f:\IR[/mm] x [mm]\IN\to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=x^n[/mm]
Hallo,
lt. Aufgabenstellung wohl eher
[mm]f:\IR\red{\setminus \{0\}}[/mm] x [mm]\IN\to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=x^n[/mm]
>
> Es existieren keine Nullstellen, denn [mm]x^n\not=0[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]x,n\not=0.[/mm]
>
> Was ist nun die Lösungsmenge?
Da es, wie Du selber sagst, kien Zahlenpaar der Definitionsmenge gibt, welches die Gleichung löst, ist die Lösungsmenge leer,
also [mm] L=\emptyset.
[/mm]
>
> Im Skript steht [mm]\emptyset=\{x|x\not=x\}.[/mm] Hier gilt
> [mm]L=\{(x,n)\in \IR x \IN | f(x,n)=0\}=\emptyset[/mm] x [mm]\emptyset[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Guck mal hier.
LG Angela
> ???
>
> Danke, LG, Björn
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Hi!
> lt. Aufgabenstellung wohl eher
>
> [mm]f:\IR\red{\setminus \{0\}}[/mm] x [mm]\IN\to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=x^n[/mm]
Danke!
> > Es existieren keine Nullstellen, denn [mm]x^n\not=0[/mm] für alle
> > [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]x,n\not=0.[/mm]
> >
> > Was ist nun die Lösungsmenge?
>
> Da es, wie Du selber sagst, kien Zahlenpaar der
> Definitionsmenge gibt, welches die Gleichung löst, ist die
> Lösungsmenge leer,
> also [mm]L=\emptyset.[/mm]
>
> >
> > Im Skript steht [mm]\emptyset=\{x|x\not=x\}.[/mm] Hier gilt
> > [mm]L=\{(x,n)\in \IR x \IN | f(x,n)=0\}=\emptyset[/mm] x [mm]\emptyset[/mm]
>
> Guck mal hier.
Mmm.. aber wir suchen doch eigentlich ein Tupel [mm] (x_0,n_0)\in\IR\setminus\{0\}x\IN [/mm] sodass [mm] f(x_0,n_0)=x_0^{y_0}=0. [/mm] Hier existiert ja nicht so ein Tupel. Die Lösungsmenge müsste doch auch aus einem Tupel bestehen. [mm] L=\{(\emptyset,\emptyset)\in\IR\setminus\{0\}x\IN\} [/mm] und das ist dann einfach [mm] \emptyset [/mm] alleine?
Tut mir leid für die blöde Frage^^
LG Björn
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> > Da es, wie Du selber sagst, kein Zahlenpaar der
> > Definitionsmenge gibt, welches die Gleichung löst, ist die
> > Lösungsmenge leer,
> > also [mm]L=\emptyset.[/mm]
> Mmm.. aber wir suchen doch eigentlich ein Tupel
> [mm](x_0,n_0)\in\IR\setminus\{0\}x\IN[/mm] sodass
> [mm]f(x_0,n_0)=x_0^{y_0}=0.[/mm] Hier existiert ja nicht so ein
> Tupel.
Genau. Weil es solch ein Tupel nicht gibt, können wir keins in die Lösungsmenge stecken. Also ist die Lösungsmenge leer. Die leere Menge also.
> Die Lösungsmenge müsste doch auch aus einem Tupel
> bestehen.
Nein, wieso sollte sie?
Richtig ist: wenn es Lösungen gäbe, wären dies Zweitupel.
Dann enthielte die Lösungsmenge Zweitupel.
Aber auch diese Menge wäre nicht unbedingt das kartesische Produkt zweier Mengen! (S.weiter unten)
> [mm]L=\{(\emptyset,\emptyset)\in\IR\setminus\{0\}x\IN\}[/mm]
Was treibst Du denn da? [mm] (\emptyset,\emptyset) [/mm] ist doch kein Element von [mm] \IR\setminus\{0\}x\IN.
[/mm]
Es ist ein Element von [mm] P(\IR\setminus\{0\})xP(\IN).
[/mm]
(P für Potenzmengen).
Die von Dir genannte Menge ist eine einelementige Teilmenge von [mm] P(\IR\setminus\{0\})xP(\IN), [/mm] welche aber mit Deiner Aufgabe wenig zu tun hat.
> und das
> ist dann einfach [mm]\emptyset[/mm] alleine?
Es ist z.B. [mm] \emptyset\times \IN=\emptyset [/mm] und auch [mm] \{1\}\times \emptyset=\emptyset,
[/mm]
denn jedes Element, welches in der linken Menge ist, ist auch in der rechten. Nämlich keins.
'ne leere Tüte ist 'ne leere Tüte. Es ist egal, was da nicht drin ist, ob keine vergammelten Heringe, keine Goldbarren oder keine Ostereier drin sind.
Leer ist leer.
> Tut mir leid für die blöde Frage^^
Wir betrachten jetzt mal einfach so aus Spaß die Menge [mm] M:=\{(1,2), (\wurzel{2}, 17), (-4,1)\}.
[/mm]
M enthält 3 Elemente und ist eine Teilmenge von [mm] \IR\setminus\{0\}\times \IN.
[/mm]
Bei dieser Menge kommst Du ja auch nicht auf die Idee, sie unbedingt als [mm] blabla\times [/mm] blubblub schreiben zu wollen, oder?
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge, denn sie enthält kein Element.
Also ist [mm] \emptyset\subseteq \IR\setminus\{0\}\times \IN.
[/mm]
Wenn es Dir ganz arg viel Freude bereitet, kannst Du die fragliche Lösungsmenge, also die leere Menge, auch schreiben als
[mm] \{\wurzel{5}, \bruch{17}{4}, -4711\}\times \IQ \times \emptyset \times \{0\}, [/mm] denn auch diese Menge ist nichts anderes als die leere Menge.
Klarer wird durch die aufgepustete Schreibweise nichts...
LG Angela
>
> LG Björn
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Du hast mir sehr geholfen! Alles war sehr verständlich formuliert und ich habe alles verstanden. Ich danke Dir Angela!
LG Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Do 27.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bjoern,
> Hi!
>
> > lt. Aufgabenstellung wohl eher
> >
> > [mm]f:\IR\red{\setminus \{0\}}[/mm] x [mm]\IN\to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=x^n[/mm]
>
> Danke!
>
> > > Es existieren keine Nullstellen, denn [mm]x^n\not=0[/mm] für alle
> > > [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]x,n\not=0.[/mm]
> > >
> > > Was ist nun die Lösungsmenge?
Angela hatte es ja schon gesagt:
[mm] $\IL=\varnothing\,.$
[/mm]
Du hattest anfangs
[mm] $\varnothing \times \varnothing$
[/mm]
stehen - das ginge auch in Ordnung, denn es ist
[mm] $=\varnothing\,.$
[/mm]
Allerdings kann man sich (später) beim kartesischen Produkt mit unendlich
vielen Mengen etwas *schwerer tun* - da braucht man dann etwas
axiomatisches. Aber bei endlich vielen Mengen tritt dieses Problem nicht
auf.
> > Da es, wie Du selber sagst, kien Zahlenpaar der
> > Definitionsmenge gibt, welches die Gleichung löst, ist die
> > Lösungsmenge leer,
> > also [mm]L=\emptyset.[/mm]
> >
> > >
> > > Im Skript steht [mm]\emptyset=\{x|x\not=x\}.[/mm]
So kann man die leere Menge schreiben - resp. definieren. Denn es gibt
doch kein [mm] $x\,$ [/mm] mit $x [mm] \not=x$ [/mm] (hier ist nichts philosophisches und auch kein
*psychologisches Problem* gemeint  ).
Vielleicht auch nochmal zum Verständnis (ähnlich, wie Angela es sagte):
Angenommen, es wäre
[mm] $\IL \not=\varnothing\,.$
[/mm]
Dann gäbe es ein Element [mm] $\textbf{z} \in \IL$ [/mm] mit
[mm] $f(\textbf{z})=0\,.$
[/mm]
Per Definitionem von [mm] $\IL$ [/mm] muss
[mm] $\IL \subseteq [/mm] $"Definitionsbereich von [mm] $f\,$"=$(\IR \setminus \{0\}) \times (\IN \setminus \{0\})$
[/mm]
sein:
Dann gäbe es also insbesondere sowohl ein $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] als auch
ein $n [mm] \in \IN \setminus \{0\}$ [/mm] mit
[mm] $\textbf{z}=(x,n)$
[/mm]
und es wäre
[mm] $f(\textbf{z})=f((x,n))=f(x,n)=x^n=0\,,$
[/mm]
was dem, was Du gesagt hast, widerspricht.
P.S. Hast Du denn bewiesen, dass für jedes reelle $x [mm] \not=0$ [/mm] und $n [mm] \in \IN \setminus\{0\}$ [/mm] auch
[mm] $x^n \not=0$
[/mm]
gelten muss? Das ist nämlich nicht schwer, anbieten tut sich:
Induktion!
Gruß,
Marcel
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Danke auch dir Marcel!
> Du hattest anfangs
>
> [mm]\varnothing \times \varnothing[/mm]
>
> stehen - das ginge auch in Ordnung, denn es ist
>
> [mm]=\varnothing\,.[/mm]
Danke! Demnach kann man zeigen A x B = [mm] \emptyset [/mm] <=> [mm] A=\emptyset [/mm] ODER [mm] B=\emptyset.
[/mm]
> Allerdings kann man sich (später) beim kartesischen
> Produkt mit unendlich
> vielen Mengen etwas *schwerer tun* - da braucht man dann
> etwas
> axiomatisches. Aber bei endlich vielen Mengen tritt dieses
> Problem nicht
> auf.
Akzeptiere ich so. Danke für den Hinweis!
> So kann man die leere Menge schreiben - resp. definieren.
> Denn es gibt
> doch kein [mm]x\,[/mm] mit [mm]x \not=x[/mm] (hier ist nichts
> philosophisches und auch kein
> *psychologisches Problem* gemeint ).
Scheint so, als würdest du dich freuen diese Definition zu sehen? Ist nicht böse gemeint, aber mich wundert es etwas^^
> P.S. Hast Du denn bewiesen, dass für jedes reelle [mm]x \not=0[/mm]
> und [mm]n \in \IN \setminus\{0\}[/mm] auch
>
> [mm]x^n \not=0[/mm]
>
> gelten muss? Das ist nämlich nicht schwer, anbieten tut
> sich:
>
> Induktion!
Ja, das habe ich schon, danke!
LG, Björn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Do 27.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke auch dir Marcel!
>
> > Du hattest anfangs
> >
> > [mm]\varnothing \times \varnothing[/mm]
> >
> > stehen - das ginge auch in Ordnung, denn es ist
> >
> > [mm]=\varnothing\,.[/mm]
>
> Danke! Demnach kann man zeigen A x B = [mm]\emptyset[/mm] <=>
> [mm]A=\emptyset[/mm] ODER [mm]B=\emptyset.[/mm]
so ist's - und das geht bei endlich vielen Mengen genauso (Induktion).
> > Allerdings kann man sich (später) beim kartesischen
> > Produkt mit unendlich
> > vielen Mengen etwas *schwerer tun* - da braucht man
> dann
> > etwas
> > axiomatisches. Aber bei endlich vielen Mengen tritt dieses
> > Problem nicht
> > auf.
>
> Akzeptiere ich so. Danke für den Hinweis!
>
> > So kann man die leere Menge schreiben - resp. definieren.
> > Denn es gibt
> > doch kein [mm]x\,[/mm] mit [mm]x \not=x[/mm] (hier ist nichts
> > philosophisches und auch kein
> > *psychologisches Problem* gemeint ).
>
> Scheint so, als würdest du dich freuen diese Definition zu
> sehen?
Freuen? Ne, ich kenne sie halt - sowas steht oft in Büchern der
Mengenlehre resp. Skripten der Mengenlehre ganz am Anfang.
> Ist nicht böse gemeint, aber mich wundert es
> etwas^^
Was? Dass ich mich über diese Definition freuen würde? Ja, das würde
mich auch wundern. Wobei es durchaus auch freuenswürdige Definitionen
gibt - jedenfalls für Mathematiker.
> > P.S. Hast Du denn bewiesen, dass für jedes reelle [mm]x \not=0[/mm]
> > und [mm]n \in \IN \setminus\{0\}[/mm] auch
> >
> > [mm]x^n \not=0[/mm]
> >
> > gelten muss? Das ist nämlich nicht schwer, anbieten tut
> > sich:
> >
> > Induktion!
>
> Ja, das habe ich schon, danke!
Sehr gut, denn das müßte doch eigentlich der wesentlichere Teil der
Aufgabe gewesen sein (aus meiner Sicht jedenfalls). 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Do 27.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Stelle eine Funktion der Gleichung [mm]x^{n}=0[/mm] mit [mm]x\in\IR[/mm] ohne
> > Null und [mm]n\in\IN[/mm] ohne Null dar und berechne die Nullstellen
> > (sofern sie existieren). Gib am Ende eine Lösungsmenge
> > an.
> >
> >
> >
> > Nabend,
> >
> > [mm]f:\IR[/mm] x [mm]\IN\to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=x^n[/mm]
>
> Hallo,
>
> lt. Aufgabenstellung wohl eher
>
> [mm]f:\IR\red{\setminus \{0\}}[/mm] x [mm]\IN\to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=x^n[/mm]
und noch eher
[mm] $\ldots$ $f(x,\red{n})=x^n\,.$
[/mm]
Wollte nur mal drauf aufmerksam machen, weil es bisher schon öfters
untergegangen war...
Gruß,
Marcel
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