Lösungsmenge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Lösen Sie in [mm] \IC [/mm] die Gleichung
-> [mm] z^{5}=2i [/mm] |
Hallo,
also ich kann ja sagen, dass z = [mm] \wurzel[5]{2i} [/mm] ist
und da gilt [mm] z^{n}=r^{n}(cos [/mm] (n [mm] \alpha) [/mm] + i * sin (n [mm] \alpha))
[/mm]
auch gilt [mm] z^{5}=r^{5}(cos [/mm] (5 [mm] \alpha) [/mm] + i * sin (5 [mm] \alpha)) [/mm] = 2i
Nur leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter.
Hat jemand eine Idee?
Laut der Lösungen könnte man jetzt einfach schreiben [mm] r^{5}(cos [/mm] (5 [mm] \alpha) [/mm] + i * sin (5 [mm] \alpha)) [/mm] = 2(cos [mm] (\pi/2)+ [/mm] i sin [mm] (\pi/2)) [/mm] woraus folgen würde r = [mm] \wurzel[5]{2}
[/mm]
Nur wieso kann man das mit dem [mm] \pi [/mm] schreiben?
Gruß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Die Lösungen sind
[mm] $z_1=\sqrt[5]{2i}$
[/mm]
[mm] $z_2=(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\cdot i\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5+\sqrt{5}})\cdot\sqrt[5]{2i}$
[/mm]
[mm] $z_3=(-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\cdot i\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{5-\sqrt{5}})\cdot\sqrt[5]{2i}$
[/mm]
[mm] $z_4=(-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}-\frac{1}{4}\cdot i\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{5-\sqrt{5}})\cdot\sqrt[5]{2i}$
[/mm]
[mm] $z_5=(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}-\frac{1}{4}\cdot i\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5+\sqrt{5}})\sqrt[5]{2i}$
[/mm]
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Ja, ok, und wie kommt man jetzt da drauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zunächst siehe mal
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen
Wir haben die Gleichung
[mm] $z^5=2i$
[/mm]
Um die Wurzeln zu bestimmen, brauchen wir anstatt $2i=w=0+i2$ die Darstellung [mm] $w=re^{i\varphi}$. [/mm] Dabei erhalten wir den Radius $r$ durch
[mm] $r=|w|=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$
[/mm]
Wir wissen also: [mm] $2i=w=re^{i\varphi}=2e^{i\varphi}$. [/mm] Damit brauchen wir [mm] $\varphi$ [/mm] mit [mm] $e^{i\varphi}=i$. [/mm] Das erhalten wir aus
[mm] $\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)=e^{i\varphi}=i\Lonhrightarrow\varphi=\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Wir haben daher: [mm] $w=2i=2e^{i\frac{\pi}{2}}$. [/mm] Nun betrachte die Formel der oben genannten Seite. Wir setzen dort nun $n=5$, [mm] $\varphi=\frac{\pi}{2}$ [/mm] und $|a|=r=2$. Wir erhalten
[mm] $z_k=\sqrt[5]{2}\cdot\exp\left(\frac{i\frac{\pi}{2}}{5}+k\frac{2\pi i}{5}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sqrt[5]{2}\cdot(\exp\left(\frac{i\pi}{10}\right)+\exp\left(\frac{2ki\pi}{5}\right))$
[/mm]
[mm] $=\sqrt[5]{2}\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi}{10}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos\left(\frac{2k\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{5}\right)\right)$
[/mm]
Den Rest bekomme ich auf die Schnelle nicht hin und überlasse ihn Dir. Versuch es am besten mal mit den Additionstheoremen.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 10.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Lösen Sie in C die Gleichungen auf:
[mm] i(z+\overline{z})=1 [/mm] |
Hallo,
in meinen Lösungen steht, dass es keine Lösung in C gibt.
Ist das deswegen, weil
i(2Re(z))=1 => i(2x)=1 => x = [mm] \bruch{\wurzel{i}}{2} [/mm] man hier keinen Real- un Imaginärteil hat?
Oder warum gibt es hier keine Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mo 10.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie in C die Gleichungen auf:
>
> [mm]i(z+\overline{z})=1[/mm]
> Hallo,
>
> in meinen Lösungen steht, dass es keine Lösung in C gibt.
>
> Ist das deswegen, weil
>
> i(2Re(z))=1 => i(2x)=1 => x = [mm]\bruch{\wurzel{i}}{2}[/mm] man
> hier keinen Real- un Imaginärteil hat?
So würde ich es nicht formulieren. Die Gleichung
i(2Re(z))=1
kann keine Lösung haben, denn auf der rechten Seite steht eine reelle Zahl (1), aber auf der linken Seite i mal einer reellen Zahl. Das kann nicht funktionieren.
Viele Grüße
Rainer
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