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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Aoide |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die normierte Zeilenstufenform der erweiterten Koeffinzientenmatrix [mm] [A_{1}|\vec{b_{1}}.
[/mm]
[mm] A_{1}=\vmat{0&2&0&2\\1&1&0&-1\\1&-2&0&-4}, \vec{b_{1}}= \vmat{4\\3\\-3}
[/mm]
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems [mm] A_{1}\vec{x}=\vec{b_{1}}. [/mm] |
Hi, ich habe zuerst einmal Zeilen getauscht: [mm] \vmat{1&-2&0&-4\\1&1&0&-1\\0&2&0&2}\vmat{-3\\3\\4}.
[/mm]
Dann 2.Zeile minus 1.Zeile: [mm] \vmat{1&-2&0&-4\\0&3&0&3\\0&2&0&2}\vmat{-3\\6\\4}.
[/mm]
Nun 1.Zeile plus 3.Zeile, 2.Zeile durch 3, dritte Zeile durch 2 macht: [mm] \vmat{1&0&0&-2\\0&1&0&1\\0&1&0&1}\vmat{1\\2\\2}.
[/mm]
Nun noch 3.Zeile minus 2.Zeile, dann habe ich (glaube ich) die normierte ZSF: [mm] \vmat{1&0&0&-2\\0&1&0&1\\0&0&0&0}\vmat{1\\2\\0}.
[/mm]
Ich bin mir jedoch nun nicht sicher, ob es erlaubt ist, dass in der letzten Spalte zwei Zahlen übereinander stehen!?
Denn wenn ich jetzt versuche das Gleichungssystem aufzustellen komme ich auf
[mm] x_{1}- 2x_{4} [/mm] = 1
[mm] x_{2}+x_{4} [/mm] = 2
0=0
Wo bekomme ich denn jetzt mein [mm] x_{3} [/mm] her??? Ich dachte, jede Spalte ist eine x-Variable (also 1.Spalte = [mm] x_{1}, [/mm] 2.Spalte = [mm] x_{2} [/mm] usw.) Ist das nicht richtig? Oder hab ich einen Denkfehler?
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Hallo Aoide,
> Bestimmen Sie die normierte Zeilenstufenform der
> erweiterten Koeffinzientenmatrix [mm][A_{1}|\vec{b_{1}}.[/mm]
> [mm]A_{1}=\vmat{0&2&0&2\\1&1&0&-1\\1&-2&0&-4}, \vec{b_{1}}= \vmat{4\\3\\-3}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen
> Gleichungssystems [mm]A_{1}\vec{x}=\vec{b_{1}}.[/mm]
> Hi, ich habe zuerst einmal Zeilen getauscht:
> [mm]\vmat{1&-2&0&-4\\1&1&0&-1\\0&2&0&2}\vmat{-3\\3\\4}.[/mm]
> Dann 2.Zeile minus 1.Zeile:
> [mm]\vmat{1&-2&0&-4\\0&3&0&3\\0&2&0&2}\vmat{-3\\6\\4}.[/mm]
> Nun 1.Zeile plus 3.Zeile, 2.Zeile durch 3, dritte Zeile
> durch 2 macht:
> [mm]\vmat{1&0&0&-2\\0&1&0&1\\0&1&0&1}\vmat{1\\2\\2}.[/mm]
> Nun noch 3.Zeile minus 2.Zeile, dann habe ich (glaube ich)
> die normierte ZSF:
> [mm]\vmat{1&0&0&-2\\0&1&0&1\\0&0&0&0}\vmat{1\\2\\0}.[/mm]
>
> Ich bin mir jedoch nun nicht sicher, ob es erlaubt ist,
> dass in der letzten Spalte zwei Zahlen übereinander
> stehen!?
Sicher ist das erlaubt.
> Denn wenn ich jetzt versuche das Gleichungssystem
> aufzustellen komme ich auf
> [mm]x_{1}- 2x_{4}[/mm] = 1
> [mm]x_{2}+x_{4}[/mm] = 2
> 0=0
>
> Wo bekomme ich denn jetzt mein [mm]x_{3}[/mm] her??? Ich dachte,
> jede Spalte ist eine x-Variable (also 1.Spalte = [mm]x_{1},[/mm]
> 2.Spalte = [mm]x_{2}[/mm] usw.) Ist das nicht richtig? Oder hab ich
> einen Denkfehler?
Nun, aus dem Gleichungssystem geht hervor,
daß [mm]x_{3}[/mm] nicht eindeutig bestimmbar ist, da Nullspalte.
Daher ist [mm]x_{3}[/mm] frei wählbar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 22.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Dankeschön!
Die Lösungsmenge ist also [mm] x_{1}= [/mm] 2p+1, [mm] x_{2}=2-p, x_{3}=s, x_{4}=p [/mm] ,
p und s [mm] \in \IR?
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo Aiode,
> Dankeschön!
> Die Lösungsmenge ist also [mm]x_{1}=[/mm] 2p+1, [mm]x_{2}=2-p, x_{3}=s, x_{4}=p[/mm]
> ,
> p und s [mm]\in \IR?[/mm]
> Stimmt das?
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Unter der Annahme, dass dein Ergebnis aus dem vorherigen Post gestimmt hat, den MathePower abgesegnet hat)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 22.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Was würde denn passieren, wenn in der NZSF eine Ungleichung enthalten wäre, z.B. 1 = 0 ?
Hat dann das Gleichungssystem keine Lösung und die Menge ist leer?
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Hallo!
> Was würde denn passieren, wenn in der NZSF eine
> Ungleichung enthalten wäre, z.B. 1 = 0 ?
> Hat dann das Gleichungssystem keine Lösung und die Menge
> ist leer?
Wenn auf der "rechten Seite", also im Ergebnisvektor b) deines Gleichungssystems irgendwann eine Zahl ungleich Null steht, aber in der gesamten entsprechenden Zeile der Matrix nur Nullen, heißt dass, dass 0 = (Zahl ungleich 0) sein müsste, das geht nicht,
also gibt es keine Lösung. Genau 
Achtung: Andersrum aber nicht!, deswegen habe ich es noch einmal so ausführlich aufgeschrieben. Denn wenn in einer Zeile der Matrix links etwas steht, rechts im Ergebnisvektor in der entsprechenden Komponente aber 0, heißt das lediglich, dass die Gleichung so aussieht: 1*x + 3*y = 0, (oder so...),
da kann das LGS noch sehr viele Lösungen haben.
Grüße,
Stefan
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