Lösungsmenge der Ungleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mi 27.10.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
hi leute, könnt ihr mir bitte bitte helfen? Ich kann leider diese Aufgaben nicht so gut lösen.
Aufgabe:
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Betragsungleichungen:
aufgabe 1
[mm] (x-3)^2+(x-4)^2>8
[/mm]
aufgabe2
[mm] x\not=0 [/mm] und [mm] x^{-1}>x
[/mm]
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Hallo!
Also was du da angegeben hast, sind doch gar keine Betragsungleichungen.
Oder hast du die Betragsstriche vergessen?
wenn alles so stimmt, dann versuch doch erstmal
bei Aufageb 1: alles so weit es geht auszumultiplizieren und umzustellen.
Vielleicht kommst du so weiter
bei Aufgabe 2: mußt du ebenfalls die x auf eine Seite bringen!
Sag doch mal wie weit du kommst und dann sehen wir weiter!
Liebe Grüße Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Do 28.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sunny
>
> hi leute, könnt ihr mir bitte bitte helfen? Ich kann leider
> diese Aufgaben nicht so gut lösen.
> Aufgabe:
> Bestimme die Lösungsmenge der folgenden
> Betragsungleichungen:
> aufgabe 1
> [mm](x-3)^2+(x-4)^2>8
[/mm]
>
> aufgabe2
> [mm]x\not=0[/mm] und [mm]x^{-1}>x
[/mm]
>
>
Zunächst einmal: weisst du, warum sind das Betragsungleichungen sind?
Sie sind es, weil gilt:
[mm] $\wurzel{X^{2}}=\left|X\right|$
[/mm]
Darum ist der erste Lösungsschritt, das mal in eine Form [mm] $\wurzel{X^{2}}$ [/mm] zu bringen. Ich zeigs mal anhand der 1. Aufgabe:
[mm] $(x-3)^2+(x-4)^2>8$
[/mm]
Zuerst einmal ausmultiplizieren:
[mm] $x^{2}-6x+9+x^{2}-8x+16>8$
[/mm]
[mm] $2x^{2}-14x+25>8$
[/mm]
[mm] $2x^{2}-14x>-17$
[/mm]
Jetzt versuchen wir quadratisch zu ergänzen. Um Brüche zu vermeiden, zuerst mal 2:
[mm] $4x^{2}-28x>-34$
[/mm]
[mm] $4x^{2}-28x+49>-34+49$
[/mm]
[mm] $(2x-7)^{2}>15$
[/mm]
So, jetzt kannst du die Wurzel ziehen:
[mm] $\wurzel{(2x-7)^{2}}>\wurzel{15}$
[/mm]
Oder gemäss obiger Anmerkung:
[mm] $\left|2x-7\right|>\wurzel{15}$
[/mm]
So, ich hoffe, du kommst jetzt weiter.
Sonst frage bitte nach.
Bei der 2. Aufgabe geht es natürlich entsprechend. Dort musst du einfach schon zu Beginn eine Fallunterscheidung machen, weil du ja ganz am Anfang vermutlich mit $x_$ multiplizierst! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Fr 29.10.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
sorry, die Betragsungleichung sollte gar nicht auftauchen bei der frage, sondern einfach die gleichung. Mir ist auch klar, dass ich am anfang alles ausklammern muss bei der ersten aufgabe, aber wie sieht dann die Lösungsmenge aus?
Und wie fange ich bei der zweiten aufgabe an? Klar, ich muss die beiden x werte auf eine seite bringen, aber was mach ich dann?
Danke für die letzte antwort.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Fr 29.10.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hallo paulus. Vielen dank für deine hilfe. Die zweite aufgabe ist mir einiger maßen klar geworden. Was hälst du davon
FALLunterscheidung
I. Fall
x [mm] \not=0 [/mm] und [mm] x^{-1}>x
[/mm]
1/x>x
[mm] 1>x^2
[/mm]
daraus die wurzel ist
[mm] x_{1}>1
[/mm]
[mm] x_{2}>-1
[/mm]
II. Fall
[mm] 1
die wurzel daraus
[mm] x_{1}<1
[/mm]
[mm] x_{2}<-1
[/mm]
[mm] \IL={(-1, \infty)} \cup{(1....)}
[/mm]
ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist, hab leider bisschen probleme bei der lösungsmenge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sunny000,
> hallo paulus. Vielen dank für deine hilfe. Die zweite
> aufgabe ist mir einiger maßen klar geworden. Was hälst du
> davon
> FALLunterscheidung
> I. Fall
> x [mm]\not=0[/mm] und [mm]x^{-1}>x
[/mm]
> 1/x>x
> [mm]1>x^2
[/mm]
> daraus die wurzel ist
> [mm]x_{1}>1
[/mm]
> [mm]x_{2}>-1
[/mm]
>
> II. Fall
> [mm]1
> die wurzel daraus
> [mm]x_{1}<1
[/mm]
> [mm]x_{2}<-1
[/mm]
>
> [mm]\IL={(-1, \infty)} \cup{(1....)}
[/mm]
> ich bin mir nicht sicher
> ob das richtig ist, hab leider bisschen probleme bei der
> lösungsmenge.
Da sind schon einige Fehler drin. Erstmal ist deine Fallunterscheidung nicht deutlich genug formuliert, und zweitens folgt z.B. aus $x²<1$ nicht $x<1$ und $x<-1$, sondern:
Aus $x²<1$ folgt $|x|<1$, also $-1<x<1$.
Ich schreibe dir die Aufgabe nochmal korrekt auf:
Aufgabe:
Es sei [mm] $x\not=0$. [/mm] Für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt dann:
[mm] $x^{-1}>x$?
[/mm]
Erste Überlegung:
[mm] $x^{-1}>x$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star)$ $\frac{1}{x}>x$.
[/mm]
Wenn wir die letzte Ungleichung nun mit $x$ multiplizieren, was wir im Folgenden ja vorhaben, so mußt du aufpassen, ob $x>0$ gilt (dann ändert sich das $>_$-Zeichen von [mm] $(\star)$ [/mm] nicht) oder ob $x<0$ ist (dann ändert sich das $>_$-Zeichen von [mm] $(\star)$ [/mm] in ein $<_$-Zeichen).
(Der Fall $x=0$ kann ja nicht auftreten, da ja [mm] $x\not=0$ [/mm] vorausgesetzt!)
Also:
1.Fall: [mm] $(\star \star)$ [/mm] $x>0$:
Dann gilt:
[mm] $\frac{1}{x}>x$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x²<1$
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten, wie man weitermachen kann, um die Lösungsmenge in dem 1. Fall herauszufinden::
Entweder:
1. Möglichkeit:
$x²<1$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$|x|<1$
Da wir $x>0$ haben, folgt $|x|=x$ und damit:
[mm] $\gdw$
[/mm]
$0<x<1$.
oder aber:
2. Möglichkeit:
$x²<1$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x²-1<0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$(x+1)*(x-1)<0$
Das Produkt zweier Faktoren ist genau dann kleiner 0, wenn ein Faktor $>0$ und der andere $<0$ ist. Also haben wir wieder zwei Fälle zu untersuchen. Da zusätzlich $x>0$ vorausgesetzt ist (siehe [m](\star \star)[/m]), erhalten wir:
a) $x+1<0$ und $x-1>0$ und $x>0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x<-1$ und $x>1$ und $x>0$.
Der Fall a) existiert aber nicht (wenn es nicht klar ist, verdeutliche dir die Situation mal am Zahlenstrahl).
b) $x+1>0$ und $x-1<0$ und $x>0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x>-1$ und $x<1$ und $x>0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$0<x<1$.
Nun zum
2. Fall: (welchen ich nicht mit 2 möglichen Lösungswegen durchrechne)
$x<0$:
Dann gilt:
[mm] $\frac{1}{x}>x$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$1<x²$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$|x|>1$
Im zweiten Fall ist aber $x<0$ vorausgesetzt, d.h. es gilt $|x|=-x$ und es folgt:
[mm] $\gdw$
[/mm]
$-x>1$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x<-1$.
(Dass $x<0$ zusätzlich gilt, ändert nichts an:
$x<-1$. )
Somit erhalten wir als Lösungsmenge:
[mm] $\IL=\left\{r \in \IR: 0
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Fr 29.10.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
dankeschön marcel für deine mühe, du hast es mir so deutlich gemacht, dass ich jetzt alles verstanden habe.
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Hallo
kann mir mal jemand die loesungsmenge erklären und
sagen ob die loesungs menge stimmt ?
> Somit erhalten wir als Lösungsmenge:
>
> [mm]\IL=\left\{r \in \IR: 0
>
grüße und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 So 09.01.2005 | | Autor: | mando |
Hallo
[mm] $\{r\in\IR:0
Hoffe das hilft dir. Mfg mando
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 So 09.01.2005 | | Autor: | phoenix80 |
ja ok
und dahinter in den klammern was bedeutet das ausgeschrieben in worten
( wortwörtlich nicht interpretiert )
und 2.
wenn ein bereich mit zb (3;6]
beschrieben ist heist das ?
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sollte eigentlich ne frage werden :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
also ich hoffe, ich verstehe dich richtig, du meinst diese Klammern: ?
$ =(0;1) [mm] \cup (-\infty;-1) [/mm] $
das sind: das offene Intervall von 0 bis 1 "oder" das offene Intervall von minus unendlich bis -1
es bedeutet exact das, was mando bereits erklärt hat.
zur zweiten Frage:
(3,6) ist ein offendes Intervall - d.h. es sind alle Zahlen von 3 bis 6, wobei 3 und 6 nicht mit dazu gehören
(3,6] ist ein halboffendes Intervall - d.h. es sind alle Zahlen von 3 bis 6, wobei 3 nicht mit dazu gehört, aber die 6 schon.
[3,6) ist ein halboffendes Intervall - d.h. es sind alle Zahlen von 3 bis 6, wobei 6 nicht mit dazu gehört, aber die 3 schon.
[3,6] ist ein geschlossenes Intervall - d.h. es sind alle Zahlen von 3 bis 6, wobei 3 und 6 mit dazu gehören
oder meintest du was anderes?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 So 09.01.2005 | | Autor: | phoenix80 |
ja danke das meinte ich
mir war nicht mehr klar, was welche klammer bedeutet
danke grüße
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