Lösungsraum Bestimmung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 01.02.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Lösungsraum des linearen Gleichungssystms Ax = b über [mm] \IQ [/mm] mit
A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 7 & 6 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \\ } [/mm]
b= [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 5 \\ 4} [/mm] |
Ich habe zuerst die Matrix mit Zeilenumformungen bearbeitet:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Also gibt es nur zwei linear unabhängige Gleichungen.
Doch wie muss man nun weiterfahren?
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Hallo jokerose,
> Bestimmen Sie den Lösungsraum des linearen Gleichungssystms
> Ax = b über [mm]\IQ[/mm] mit
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 7 & 6 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \\ }[/mm]
>
> b= [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 5 \\ 4}[/mm]
> Ich habe zuerst die Matrix
> mit Zeilenumformungen bearbeitet:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Also gibt es nur zwei linear unabhängige Gleichungen.
> Doch wie muss man nun weiterfahren?
Die Zeilenumformungen sind auch mit dem Lösungsvektor b durchzuführen.
Und dann erstmal schauen, ob es eine Lösung für dieses Gleichungssystem gibt. Falls ja, wird die Lösung bestimmt. Im anderen Fall bist Du schon fertig.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 01.02.2008 | | Autor: | jokerose |
ja, die Zeilenumformungen habe ich auch mit dem Vektro b gemacht.
Ich habe dann diese zwei Gleichungen erhalten:
[mm] x_{3} [/mm] + [mm] 3*x_{4} [/mm] + [mm] 3*x_{5} [/mm] = 2
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 1
Habe dann [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \beta [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \gamma [/mm] gesetzt.
Für [mm] x_{4} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] habe ich dann folgendes erhalten:
[mm] x_{4} [/mm] = 1 - [mm] \alpha [/mm] - [mm] 2*\beta
[/mm]
[mm] x_{5} [/mm] = -1 + [mm] 3*\alpha [/mm] + [mm] 6*\beta [/mm] - [mm] \gamma
[/mm]
Doch ich seh immer noch nicht, wie ich dann den Lösungsraum aufstellen muss...
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Hallo jokerose,
> ja, die Zeilenumformungen habe ich auch mit dem Vektro b
> gemacht.
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> Ich habe dann diese zwei Gleichungen erhalten:
>
> [mm]x_{3}[/mm] + [mm]3*x_{4}[/mm] + [mm]3*x_{5}[/mm] = 2
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2*x_{2}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] = 1
>
>
> Habe dann [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\beta[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] =
> [mm]\gamma[/mm] gesetzt.
> Für [mm]x_{4}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm] habe ich dann folgendes erhalten:
>
> [mm]x_{4}[/mm] = 1 - [mm]\alpha[/mm] - [mm]2*\beta[/mm]
>
> [mm]x_{5}[/mm] = -1 + [mm]3*\alpha[/mm] + [mm]6*\beta[/mm] - [mm]\gamma[/mm]
>
> Doch ich seh immer noch nicht, wie ich dann den Lösungsraum
> aufstellen muss...
Der Lösungsraum ist die Lösungsmenge L dieses linearen Gleichungssystems.
Am besten Du schreibst das so auf:
[mm]L=\left \{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} \ in \IR^5 | \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \vec a +\ t\ \vec b + u\ \vec c + v\ \vec d \ ,\ t,\ u,\ v \in \IR \right \}[/mm]
Wobei anstatt der Vekoren hier deine Lösung einzusetzen ist.
Gruß
MathePower
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