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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Mi 12.05.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Gegeben: Matrix [mm] A\in M(mxn,\IR); b\in \IR^m, [/mm] b [mm] \not= [/mm] 0. u,v [mm] \in [/mm] L(A,0); w,z [mm] \in [/mm] L(A,b).
Beh.:
a) w+z [mm] \not\in [/mm] L(A,b)
b) 2w [mm] \not\in [/mm] L(A,b)
c) w-z [mm] \in [/mm] L(A,0)
d) w-z [mm] \not\in [/mm] L(A,b)
e) 5u-3z [mm] \not\in [/mm] L(A,0)
f) 5u-3v [mm] \in [/mm] L(A,0) |
Hallo.
Also ich weiß, dass der Lösungsraum eines homogenen LGS ein UVR ist und der Lösungsraum eines inhomogenen LGS ein Affiner Unterraum.
Bei Nr. a) und b): w+z und 2w wären nach der Def. des UVR aus L(A,0), oder? Aber nicht aus L(A,b). Gibt es eine andere Begründung?
c) ist mir unklar, wie man das erklären könnte. Kann man schreiben: L(A,b)=w+L(A,0) bzw. L(A,b)=z+L(A,0)? Das wäre doch die Definition des Affinen Unterraums. Aber was könnte ich dann für w-z schließen? Dass w-z L(A,0) aufspannt und somit aus L(A,0) sein muss?
d) Wäre wieder, dass L(A,b) kein UVR ist, also gilt w-z [mm] \in [/mm] L(A,b) nicht.
e) ist mir auch unklar.
f) Da u und v [mm] \in [/mm] L(A,0) sind, sind nach der Def. des UVR auch 5u und -3v aus L(A,0) und damit auch 5u-3v [mm] \in [/mm] L(A,0).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zunächst:
x [mm] \in [/mm] L(A,0) [mm] \gdw [/mm] Ax=0
y [mm] \in [/mm] L(A,b) [mm] \gdw [/mm] Ay=b
Es gilt nach Vor.:
A(w+z) = Aw+Az=2b
A(2w) = 2A(w) = 2b
A(w-z) = Aw-Az= b-b=0
A(5u-3z) = 5Au-3Az= -3b
A(5u-3v) = 5Au-3Av= 0
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 12.05.2010 | | Autor: | lubalu |
> Zunächst:
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> x [mm]\in[/mm] L(A,0) [mm]\gdw[/mm] Ax=0
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> y [mm]\in[/mm] L(A,b) [mm]\gdw[/mm] Ay=b
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> Es gilt nach Vor.:
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> A(w+z) = Aw+Az=2b
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> A(2w) = 2A(w) = 2b
>
> A(w-z) = Aw-Az= b-b=0
>
> A(5u-3z) = 5Au-3Az= -3b
>
> A(5u-3v) = 5Au-3Av= 0
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> Hilft das ?
Ja,das hilft mir schon weiter. Ich setze also einfach die gegebenen Lösungen bzw. die zu untersuchenden Lösungen in das LGS ein für x. Wenn dann 0 rauskommt, ist der Vektor aus L(A,0) und wenn b rauskommt, ist der Vektor aus L(A,b) (diesen Fall gibts aber hier nicht).
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mi 12.05.2010 | | Autor: | statler |
Hallo Marina!
> Ja,das hilft mir schon weiter. Ich setze also einfach die
> gegebenen Lösungen bzw. die zu untersuchenden Lösungen in
> das LGS ein für x. Wenn dann 0 rauskommt, ist der Vektor
> aus L(A,0) und wenn b rauskommt, ist der Vektor aus L(A,b)
> (diesen Fall gibts aber hier nicht).
So isset.
Gruß
Dieter
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