Lösungsraum homogenes LGS < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }, b=\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Berechne eine Basis des Lösungsraums des homogenen LGS A*x=0 und bestimme die Lösungsmenge des inhomogenen Systems A*x=b |
Soweit, so gut!
Ich soll zuerst eine Basis des Lösungsraumes ermitteln.
Da gehe ich folgendermaßen vor:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}= \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 } [/mm]
2I+II
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }
[/mm]
-1I+IV
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -6 & -3 }
[/mm]
-3III+IV
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
-1II+III
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Kann das so stimmen? Das die letzten Zeilen nur Nullen sind?
Ich habe jetzt versucht den Lösungsraum zu bestimmen um DANN eine Basis dieses Lösungsraumes zu ermitteln.
Wie kann ich nun fortfahren?
Ich weiß nur der Lösungsraum ist identisch mit dem kern der Matrix von A.
Lösungsmenge des inhomogenen Systems A*x=b
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} =\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Ich rechne hier mal nicht alle Schritte vor, ich habe das Ergebnis mit einem Matheprogramm überprüft.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -6 & -3 & 3 }
[/mm]
Das Gleichungssystem ist nicht eindeutog lösbar. Nun komme ich nicht so recht voran. Könnt ihr mir dabei helfen die Läsungsmenge zu ermitteln?
Danke schonmal!
LG heinze
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Hallo heinze,
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }, b=\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 4}[/mm]
>
> Berechne eine Basis des Lösungsraums des homogenen LGS
> A*x=0 und bestimme die Lösungsmenge des inhomogenen
> Systems A*x=b
>
>
>
> Soweit, so gut!
>
> Ich soll zuerst eine Basis des Lösungsraumes ermitteln.
> Da gehe ich folgendermaßen vor:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}= \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }[/mm]
>
> 2I+II
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }[/mm]
>
> -1I+IV
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -6 & -3 }[/mm]
>
> -3III+IV
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> -1II+III
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Kann das so stimmen? Das die letzten Zeilen nur Nullen
> sind?
>
Ja, das stimmt.
> Ich habe jetzt versucht den Lösungsraum zu bestimmen um
> DANN eine Basis dieses Lösungsraumes zu ermitteln.
>
> Wie kann ich nun fortfahren?
> Ich weiß nur der Lösungsraum ist identisch mit dem kern
> der Matrix von A.
>
>
> Lösungsmenge des inhomogenen Systems A*x=b
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} =\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 4}[/mm]
>
> Ich rechne hier mal nicht alle Schritte vor, ich habe das
> Ergebnis mit einem Matheprogramm überprüft.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -6 & -3 & 3 }[/mm]
>
> Das Gleichungssystem ist nicht eindeutog lösbar. Nun komme
> ich nicht so recht voran. Könnt ihr mir dabei helfen die
> Läsungsmenge zu ermitteln?
>
Nun, die allgemeine Lösung setzt sich aus
der Lösung des homogenen Gleichungssystems
und der speziellen Lösung des inhomogenen
Gleichungssystems zusammen.
>
> Danke schonmal!
>
>
> LG heinze
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
Danke für die schnelle Antwort!
das weiß ich, aber ich soll ja keine alllgemeine Lösungs bilden sondern die Lösung des inhomogenen Systems ;) und ich habe schon seit je her immer Probleme diese anzugeben, wenn das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.
Dafür bräuchte ich eure Hilfe!
LG heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Di 03.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst die LösungEN Mehrzahl! von Ax=bangeben, undas machst indem due eine der mögl. Lösungen zu der Lösung der homogenen addierst!
dort kannst du etwa x3=s, x4=t beliebig wählen und so die allg. Lösung hinschreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
Über die Lösung der homogenen Gleichung bin ich mir noch nicht sicher. Ich wundere mich vor allem, dass das homogene und inhomogene Gleichungssystem so unterschiedlich aussieht. In einem der beiden muss ich mich verrechnet haben.
Zum homogenen LGS muss ich erstmal den Lösungsraum ermitteln. das habe ich ja noch nicht. Köjnt ihr mir sagen wie ich den aufstelle? Und wie bilde ich einen basis des Lösungsraumes? Sind das bereits die ersten 2 Zeilen des LGS?
Bitte um Geduld, Gleichungssysteme gehören nicht zu dem was mir sonderlich gut liegt ;)
LG heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Di 03.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Umformungen links muss dasselbe Ergebnis haben, ob rechts b oder 0 steht. Was du zuletzt geschrieben hast ist ja keine 3 Eck Form
wie du die allg. lösung der hom findest hatte ich schon geschrieben im letzten post. Bitte kommentiere posts, wenn du sie nicht verstehst allerdings bitte erst nach 10 Min darüber nachdenken!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
okay, also ist mein 2. Gleichungssystem falsch? das zur inhomogenen Lösung? Oder stimmen die beiden Nullzeilen bei dem homogenen LGS nicht?
leider verstehe ich dich noch immer nicht was die allgemeine Lösung angeht. Ich verstehe dich schon, aber nicht wie ich diese erhalte.
Und ich weiß nicht wie ich die Basis des homogenen LGS erhalte. Sind nicht die ersten beiden Zeilen eine mögliche Basis?
LG heinze
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Hallo heinze,
> okay, also ist mein 2. Gleichungssystem falsch? das zur
> inhomogenen Lösung? Oder stimmen die beiden Nullzeilen bei
> dem homogenen LGS nicht?
>
Die entsprechende Matrix zum Gleichungssystem zur inhomogenen Lösung lautet so:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \red{0} & 3 & -6 & -3 & 3 }[/mm]
> leider verstehe ich dich noch immer nicht was die
> allgemeine Lösung angeht. Ich verstehe dich schon, aber
> nicht wie ich diese erhalte.
>
Die Matrix zum homogenen Gleichungssystem lautet so:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0
} [/mm]
Ersetze die Nullen in den Diagonalen durch "-1" en.
Dann ergibt sich mit der Vereinbarung [mm]x_{3}=s, \ x_{4}=t[/mm] die Lösung zu:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=-s*\operatorname{3. \ Spalte}-t*\operatorname{4. \ Spalte}[/mm]
> Und ich weiß nicht wie ich die Basis des homogenen LGS
> erhalte. Sind nicht die ersten beiden Zeilen eine mögliche
> Basis?
>
Die Basis ergibt sich dann zu:
[mm]< -\operatorname{3. \ Spalte}, \ -\operatorname{4. \ Spalte} >[/mm]
>
> LG heinze
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Wieso ersetze ich die Nullen in der Diagonale durch -1? Ist das eine Vorschrift die man so einhalten muss oder warum ist das so?
Dann muss ich ja für alle Nullen in der Matrix -1 setzen, das sind ja irgendwie alles Diagonalen oder verstehe ich das falsch?
Und noch ein Verständnisproblem: wieso setze ich [mm] x_3=s [/mm] und [mm] x_4=t? [/mm] beziehungsweise warum -s*3.Spalte-t*4.Spalte.?
Gleichungssysteme - damit habe ich mich echt verstritten!
LG heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht doch in der letzten Zeile [mm] 0*x_4=0 [/mm] also richtig, für jed reelle Zahl für [mm] x_4
[/mm]
in der vorletzten Zeile seht [mm] 0*x_3+0*x4 [/mm] also richtig für jede reelle zahl [mm] x_3 [/mm] die nennt man dann halt irgendwie r oder s oder t oder heinze mit [mm] heinze\in \IR.
[/mm]
Welche lösungen findest du denn für die gleichung 0*x=0 und we beschreibst du die Lösungen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 05.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich verstehe hier nichts mehr, daher nochmal langsam Schritt für Schritt.
Ich habe das LGS in Zeilenstufenform gebracht. Jetzt ist folgendes gefragt:
Berechne eine Basis des Lösungsraumes des homogenen LGS A*x=0
1.Wie berechne ich die Basis?
2.Wie lautet der Lösungsraum von dem ich die Basis bestimmen soll?
Bitte erklärt es mir Schritt für Schritt, ich steige hier sonst nicht durch.
LG heinze
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Hallo heinze,
> Ich verstehe hier nichts mehr, daher nochmal langsam
> Schritt für Schritt.
> Ich habe das LGS in Zeilenstufenform gebracht. Jetzt ist
> folgendes gefragt:
>
> Berechne eine Basis des Lösungsraumes des homogenen LGS
> A*x=0
>
> 1.Wie berechne ich die Basis?
Na, das steht doch schon alles hier im thread.
Die Matrix in ZSF lautet
[mm]\pmat{1&0&1&2\\
0&1&-2&-1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0}[/mm]
Damit hast du zwei Gleichungen in vier Variablen, also zwei frei wählbare.
Setze [mm]x_4=t, x_3=s[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm], so ist mit Zeile 2:
[mm]x_2-2x_3-x_4=0[/mm], also [mm]x_2=2x_3+x_4=2s+t[/mm]
Und weiter mit Zeile 1:
[mm]x_1+x_3+2x_4=0[/mm], also [mm]x_1=-x_3-2x_4=-s-2t[/mm]
Ein Lösungsvektor [mm]\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}[/mm] des homogenen LGS [mm]Ax=0[/mm] hat also die Gestalt
[mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}=\vektor{-s-2t\\
2s+t\\
s\\
t}=s\cdot{}\vektor{-1\\
2\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-2\\
1\\
0\\
1}[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Der Lösungsraum ist also [mm]\left\{s\cdot{}\vektor{-1\\
2\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-2\\
1\\
0\\
1} \ \text{mit} \ s,t\in\IR\right\}[/mm]
Die Vektoren [mm]\vektor{-1\\
2\\
1\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{-2\\
1\\
0\\
1}[/mm] spannen dir den Lösungsraum auf und sind eine Basis desselben.
> 2.Wie lautet der Lösungsraum von dem ich die Basis
> bestimmen soll?
Das ist der obige Raum, anders geschrieben als Spann:
[mm]\left\langle\vektor{-1\\
2\\
1\\
0},\vektor{-2\\
1\\
0\\
1}\right\rangle[/mm]
Für die Gesamtlösung des inhomogenen Systems brauchst du eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS, die du dann auf die oben beschriebene allg. Lösung des homogenen Systems addierst.
Also [mm]\IL_{\text{gesamt}}=\left\{s\cdot{}\vektor{-1\\
2\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-2\\
1\\
0\\
1} \ \text{mit} \ s,t\in\IR\right\} \ + \ \text{eine spezielle Lsg. des inhomogenen Systems}[/mm]
>
>
> Bitte erklärt es mir Schritt für Schritt, ich steige hier
> sonst nicht durch.
>
>
> LG heinze
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 05.01.2012 | | Autor: | heinze |
OH das habe ich mir jetzt komplizierter vorgestellt weil es auf die Aufgabe viele Punkte gibt.
Und als inhomogene Lösung kann ich die Lösung von A*x=b dazu addieren?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -1 }\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
In Zeilenstufenform gebracht erhalte ich dann:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_1+0x_2+x_3+2x_4=1
[/mm]
[mm] 0x_1+x_2-2x_3+x_4=1
[/mm]
Wieder 2 Gleichungen und 4 Unbekannte
Gleiches Spiel also nochmal: [mm] x_4=t, x_3=s [/mm] mit [mm] s,t\in \IR
[/mm]
[mm] x_2=1+2s+t
[/mm]
[mm] x_1=1-s-2t
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}=\vektor{1-s-2t \\ 1+2s+t \\ s \\ t}
[/mm]
Das ist ja fast das selbe wie oben schon. Liege ich mit meinem Vorgehen da richtig?
LG heinze
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Hallo nochmal,
> OH das habe ich mir jetzt komplizierter vorgestellt weil es
> auf die Aufgabe viele Punkte gibt.
>
> Und als inhomogene Lösung kann ich die Lösung von A*x=b
> dazu addieren? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\
-2 & 1 & -4 & -5 \\
0 & 1 & -2 & -1 \\
1 & 3 & -5 & -1 }\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4}=\vektor{1 \\
-1 \\
1 \\
4}[/mm]
>
> In Zeilenstufenform gebracht erhalte ich dann:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 }\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4}=\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> [mm]x_1+0x_2+x_3+2x_4=1[/mm]
> [mm]0x_1+x_2-2x_3+x_4=1[/mm]
>
> Wieder 2 Gleichungen und 4 Unbekannte
>
> Gleiches Spiel also nochmal: [mm]x_4=t, x_3=s[/mm] mit [mm]s,t\in \IR[/mm]
>
> [mm]x_2=1+2s+t[/mm]
> [mm]x_1=1-s-2t[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4}=\vektor{1-s-2t \\
1+2s+t \\
s \\
t}[/mm]
>
> Das ist ja fast das selbe wie oben schon. Liege ich mit
> meinem Vorgehen da richtig?
So hast du beides auf einen Schlag erledigt!
Du kannst einen Lösungsvektor des Ausgangslgs also schreiben als [mm]\vektor{1\\
1\\
0\\
0} \ + \ s\cdot{}\vektor{-1\\
2\\
1\\
0} \ + \ t\cdot{}\vektor{-2\\
1\\
0\\
1}[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Der erste Vektor [mm]\vektor{1\\
1\\
0\\
0}[/mm] ist eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS (mache mal die Probe durch Einsetzen: [mm]x_1=x_2=1, x_3=x_4=0[/mm]), der hintere Teil die allg. Lösung des zugeh. homogenen LGS
>
>
> LG heinze
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
>
> Der Lösungsraum ist also [mm]\left\{s\cdot{}\vektor{-1\\
2\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-2\\
1\\
0\\
1} \ \text{mit} \ s,t\in\IR\right\}[/mm]
>
Ich hätte das jetzt "Lösungsmenge" genannt. Gibt es zwischen "Lösungsmenge" und "Lösungsraum" überhaupt einen Unterschied, oder ist das nur wieder um kleine Fins zu verwirren? ^^
LG
Fin
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> Hi
>
> >
> > Der Lösungsraum ist also [mm]\left\{s\cdot{}\vektor{-1\\
2\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-2\\
1\\
0\\
1} \ \text{mit} \ s,t\in\IR\right\}[/mm]
>
> >
>
> Ich hätte das jetzt "Lösungsmenge" genannt.
Hallo,
das würde auch stimmen. Lösungsmenge=die Menge der Lösungen. Paßt.
> Gibt es
> zwischen "Lösungsmenge" und "Lösungsraum" überhaupt
> einen Unterschied,
"Lösungsraum" beinhaltet, daß die Lösungsmenge ein (Unter)Vektorraum ist, was ja nicht bei jedem GS der Fall ist.
Nur weil es sich bei der Lösungsmenge von LGSen um einen VR handelt, ist ja auch die Ermittlung Ermittlung einer Basis derselbigen sinnvoll.
> oder ist das nur wieder um kleine Fins
> zu verwirren? ^^
Keine Sorge, der Begriff war da, bevor es Dich gab.
LG Angela
>
> LG
> Fin
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