Lösungsversuch zur Aufgabe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 21.11.2004 | | Autor: | iKai |
Ich habe diese Frage auf keinem anderem Forum gestellt.
Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n [mm] \not= [/mm] 0 gilt:
[mm] (\bruch{n}{3} )^{n} \le \bruch{1}{3} [/mm] n!
Ich dachte mir nun folgende Lösung.
Für n = 1, braucht man nur einsetzen und sieht [mm] \bruch{1}{3}=\bruch{1}{3} [/mm] dabei raus kommt. Die Gleichung also erfüllt ist
Für n > 1 wollte ich das nun so beweisen. Für n+1 müsste also gelten
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} \le \bruch{1}{3}n+1
[/mm]
für [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} [/mm] gilt ist = [mm] (n+1)^{n+1}*(3)^{-(n+1)}
[/mm]
also: [mm] ((n+1)(3))^{n+1+(-(n+1))} [/mm] = [mm] ((n+1)(3))^{n+1+(-n-1)} [/mm] = [mm] ((n+1)(3))^{n+1-n-1}= (3n+3)^{0} [/mm] = 1
[mm] \bruch{1}{3}n+1 [/mm] ist immer größer als 1, da min. 1 ja schon durch das +1 dasteht und eine Zahl [mm] \bruch{1}{3}n, [/mm] dessen n [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \in \IN [/mm] immer > 1 wird, womit der Beweis erbracht wäre, ja?
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> Ich habe diese Frage auf keinem anderem Forum gestellt.
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> Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n [mm]\not=[/mm] 0 gilt:
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> [mm](\bruch{n}{3} )^{n} \le \bruch{1}{3}[/mm] n!
>
> Ich dachte mir nun folgende Lösung.
> Für n = 1, braucht man nur einsetzen und sieht
> [mm]\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}[/mm] dabei raus kommt. Die Gleichung
> also erfüllt ist
>
> Für n > 1 wollte ich das nun so beweisen. Für n+1 müsste
> also gelten
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} \le \bruch{1}{3}n+1
[/mm]
>
> für [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}}[/mm] gilt ist =
> [mm](n+1)^{n+1}*(3)^{-(n+1)}
[/mm]
> also: [mm]((n+1)(3))^{n+1+(-(n+1))}[/mm] = [mm]((n+1)(3))^{n+1+(-n-1)}[/mm]
> = [mm]((n+1)(3))^{n+1-n-1}= (3n+3)^{0}[/mm] = 1
Nein, das geht nicht. [mm] a^n*b^m\not=(ab)^{n+m}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}n+1[/mm] ist immer größer als 1, da min. 1 ja schon
> durch das +1 dasteht und eine Zahl [mm]\bruch{1}{3}n,[/mm] dessen n
> [mm]\not=[/mm] 0 und [mm]\in \IN[/mm] immer > 1 wird, womit der Beweis
> erbracht wäre, ja?
>
Tip: Vielleicht hattet ihr ja schon [mm] (1+\frac{1}{n})^n<3
[/mm]
außerdem: [mm] (\frac{n+1}{3})^n=(\frac{n}{3})^n(1+\frac{1}{n})^n
[/mm]
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 So 21.11.2004 | | Autor: | iKai |
okay, böser böser Denkfehler!!!
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}\le\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}<3
[/mm]
ist die andere Aufgabe, die ich noch zu machen habe für [mm] n\in\IN n\not= [/mm] 0
dann werd ich mich wohl nochmal davor setzten müssen!
Danke!
~Kai~
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 22.11.2004 | | Autor: | iKai |
okay, da ich nich mehr ganz helle im Kopf bin kam ich nun auf folgende Idee:
( [mm] \bruch{n}{3})^{n}\le\bruch{1}{3}n!
[/mm]
für n=1 gilt Gleichung sofort, da dann 1/3 =1/3 ist.
für n>1:
( [mm] \bruch{n+1}{3})^{n} \le \bruch{1}{3}(n+1)
[/mm]
( [mm] \bruch{n}{3}^{n}(1+\bruch{1}{n})^{n} \le \bruch{1}{3}(n+1) [/mm] |*3
[mm] 3(\bruch{n}{3}^{n}*3(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] /le n+1 [mm] |*\wurzel[n]{1}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{3} [/mm] * [mm] \bruch{n}{3} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{3} [/mm] * (1+ [mm] \bruch{1}{n}) \le...
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{3} [/mm] * (( [mm] \bruch{n}{3})(1+ \bruch{1}{n})) \le...
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{3} [/mm] * ( [mm] \bruch{n}{3} [/mm] + [mm] \bruch{n}{3n}) \le...
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel[n]{3}*n}{3} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel[n]{3}n}{3n} \le... |*1^{n}
[/mm]
[mm] \bruch{3n^{n}}{3^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{3n^{n}}{3^{n}{n^{n}}} \le [/mm] n+1
= [mm] \bruch{n^{n}}{1^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1^{n}} \le [/mm] n+1
= n + [mm] \bruch{1}{1^{n}} \le [/mm] n+1
da [mm] \bruch{1}{1^{n}} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] | [mm] n\not=0 [/mm] immer 1 ist, stimmt die gleichung also, da nun dasteht:
n+1 [mm] \le [/mm] n+1
und jetzt erschlagt mich bitte dafür wieder 10.000 Regeln missachtet und verdreht zu haben, aber ich glaub ich geb das morgen mal so ab ....
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Hi!
Das würd ich nicht so abgeben.
Wo ist die Falkultät geblieben, ist das nur ein Tipfehler?
Und warum zeigst du [mm] \left(\bruch{n+1}{3}\right)^{n} \le \bruch{1}{3}(n+1) [/mm]
es muss doch [mm] \left(\bruch{n+1}{3}\right)^{n+1} \le \bruch{1}{3}(n+1)! [/mm] sein.
Außerdem solltest du nie eine (Un-)Gleichung beweisen, indem du beide Seiten solange umformst, bis auf beiden Seiten das gleiche steht. Hier eine Musterlösung:
Behauptung: [mm] \left(\bruch{n}{3}\right)^{n}\le\bruch{1}{3}n! [/mm]
Beweis durch vollständige Induktion über n
Induktionsanfang: n=1
linke Seite: [mm] (\bruch{1}{3})^{1}=\frac{1}{3}
[/mm]
rechte Seite: [mm] \bruch{1}{3}1!=\frac{1}{3}
[/mm]
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
Induktionsvoraussetzung: Behauptung gilt für bel. aber festes [mm] n\in\IN
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] \left(\bruch{n+1}{3}\right)^{n+1}\le\bruch{1}{3}(n+1)! [/mm]
Induktionsbeweis:
[mm] \left(\bruch{n+1}{3}\right)^{n+1}=\left(\bruch{n+1}{3}\right)^{n}\bruch{n+1}{3} =\left(\bruch{n}{3}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\bruch{n+1}{3}\le\bruch{1}{3}n! \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\bruch{n+1}{3}=\bruch{1}{3}(n+1)!\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\bruch{1}{3}(n+1)!, [/mm] da [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3
[/mm]
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mo 22.11.2004 | | Autor: | iKai |
Danke Verena.
Das was mich wohl etwas aus dem Konzept geworfen hat, war deine "Außerdem" Aussage in deiner ersten Hilfestellung. Irgendwie war ich dann der Meinung ich müsste diese Umformung einfach nehmen und beweisen...
das mit der Fakultät, ja stimmt, die is mir dann irgenwie abhanden gekommen...
also nochmal ganz großes Danke für die Hilfe!!!
Kai
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