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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Do 25.10.2012 | | Autor: | Ricc |
| Aufgabe | | [mm] \vmat{x^{2}-10}\le6 [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Ungleichung! Durch zeichnen des Graphen und ein bischen logisches Denken habe ich bereits festgestellt das die Lösungsmengen (-4,-2) und (2,4) sind.
Allerdings finde ich den richtigen Rechenweg nicht.
Ich habe unterschieden für die Fälle
1. [mm] x^{2}-10>0 [/mm]
2. [mm] x^{2}-10<0
[/mm]
..ist das richtig?
Meine Rechnung beim 1. Fall würde wie folgt aussehen:
[mm] x^{2}-10\le6 [/mm] /+10
[mm] x^{2}\le16 [/mm] /wurzel
[mm] x_{1}\le4
[/mm]
[mm] x_{2}\le-4
[/mm]
Sowie als Bedingung:
[mm] x^{2}-10>0 [/mm] /+10
[mm] x^{2}>10 [/mm] /wurzel
x>3,16
Wenn ich die Berechnung für den 2. Fall durchführe erhalte ich das gleiche Ergebnis nur mit geändertem Rellationszeichen noch einmal.
Wie berechne ich die anderen Werte, bzw. wo ist mein Denkfehler?
Grüße
Riccardo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Fallunterscheidung x²-10>0 und x²-10<0 ist in Ordnung.
Nun gilt:
[mm] x^{2}-10>0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}>10
[/mm]
[mm] \Rightarrow x>\sqrt{10}\wedge x<-\sqrt{10}
[/mm]
Damit folgt:
[mm] x^{2}-10<0\Rightarrow -\sqrt{10}
Fall 1: [mm] x>\sqrt{10}\wedge x<-\sqrt{10}
[/mm]
Dann
[mm] |x^{2}-10|\le6 [/mm]
Das Argument im Betrag ist positiv, also kannst du diesen weglassen
Damit ergibt sich:
[mm] x^{2}-10\le6
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}\le16
[/mm]
[mm] \Rightarrow -4\le x\le4
[/mm]
Kombiniere das noch mit der "Fallbedingung"
[mm] x>\sqrt{10}\wedge x<-\sqrt{10}
[/mm]
Fall 2 [mm] -\sqrt{10}
Hier:
[mm] |x^{2}-10|\le6 [/mm]
Der Betrag ist negativ, also:
[mm] |x^{2}-10|\le6 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow -(x^{2}-10)\le6 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow -x^{2}+10\le6 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow -x^{2}\le-4 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}\ge4 [/mm]
Also:
[mm] x\ge2\wedge x\le-2
[/mm]
Auch das Kombiniere noch mit der Fallbedingung
Marius
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Hallo
quadriere die Ungleichung
[mm] x^4-20x^2+100\le36
[/mm]
[mm] x^4-20x^2+64\le0
[/mm]
berechne jetzt die Nullstellen der Funktion [mm] f(x)=x^4-20x^2+64
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\vmat{x^{2}-10}\le6[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Ungleichung! Durch zeichnen
> des Graphen und ein bischen logisches Denken habe ich
> bereits festgestellt das die Lösungsmengen (-4,-2) und
> (2,4) sind.
> Allerdings finde ich den richtigen Rechenweg nicht.
> Ich habe unterschieden für die Fälle
> 1. [mm]x^{2}-10>0[/mm]
> 2. [mm]x^{2}-10<0[/mm]
> ..ist das richtig?
>
> Meine Rechnung beim 1. Fall würde wie folgt aussehen:
> [mm]x^{2}-10\le6[/mm] /+10
> [mm]x^{2}\le16[/mm] /wurzel
> [mm]x_{1}\le4[/mm]
> [mm]x_{2}\le-4[/mm]
>
> Sowie als Bedingung:
> [mm]x^{2}-10>0[/mm] /+10
> [mm]x^{2}>10[/mm] /wurzel
> x>3,16
>
> Wenn ich die Berechnung für den 2. Fall durchführe
> erhalte ich das gleiche Ergebnis nur mit geändertem
> Rellationszeichen noch einmal.
>
> Wie berechne ich die anderen Werte, bzw. wo ist mein
> Denkfehler?
>
> Grüße
> Riccardo
>
>
[mm]\vmat{x^{2}-10}\le6[/mm] [mm] \gdw [/mm] -6 [mm] \le x^2-10 \le [/mm] 6 [mm] \gdw [/mm] 4 [mm] \le x^2 \le [/mm] 16 [mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \le [/mm] |x| [mm] \le [/mm] 4.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:29 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Ricc |
Alles Klar! Danke das war ausreichend!:)
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