Log(z^2) analystisch < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | [mm] Log(z^2) [/mm] ist analytisch für [mm] z\not=0 [/mm] und [mm] Arg(z)\not=+- \pi/2 [/mm] |
Mir ist das nicht ganz klar, denn wenn ich [mm] z^2:=w\in\IC
[/mm]
dann ist Log(w) eindeutig auf der geschlitzten Ebene [mm] \IC^- [/mm]
und [mm] \{w: -\pi
Wie folgert man die Beh. für [mm] z^2 [/mm] daraus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Sa 19.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]Log(z^2)[/mm] ist analytisch für [mm]z\not=0[/mm] und [mm]Arg(z)\not=+- \pi/2[/mm]
>
> Mir ist das nicht ganz klar, denn wenn ich [mm]z^2:=w\in\IC[/mm]
>
> dann ist Log(w) eindeutig auf der geschlitzten Ebene [mm]\IC^-[/mm]
>
> und [mm]\{w: -\pi
>
> Wie folgert man die Beh. für [mm]z^2[/mm] daraus?
Die Komposition analytischer Funktionen ist analytisch. [mm] $z^2$ [/mm] ist analytisch in ganz [mm] $\IC$. [/mm] Für welche w ist Log w analytisch?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
Log(w) ist analytisch in der geschlitzten Ebene.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 19.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Log(w) ist analytisch in der geschlitzten Ebene.
Und was ist das Urbild der geschlitzten Ebene unter [mm] $z\mapsto z^2$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Wenn [mm] $\arg [/mm] z [mm] \ne \pm \bruch \pi 2\pmod {2\pi}$ [/mm] ist, ist [mm] $\arg z^2 [/mm] = [mm] 2*\arg [/mm] z [mm] \ne \pm \pi \pmod {2\pi}$.
[/mm]
Damit liegt [mm] $w=z^2$ [/mm] in [mm] $\IC^-$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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Welche Erkenntnis habe ich daraus gewonnen? Ich stehe nämlich komischerweise gerade vor derselben Aufgabe. Wenn ich das richtig sehe, ist
[mm] \[2*arg(z)\ne \pm \bruch{\pi}{2}\]
[/mm]
oder? Und dann wird es erst richtig seltsam.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:22 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Welche Erkenntnis habe ich daraus gewonnen? Ich stehe
> nämlich komischerweise gerade vor derselben Aufgabe. Wenn
> ich das richtig sehe, ist
> [mm]\[2*arg(z)\ne \pm \bruch{\pi}{2}\][/mm]
Dies ist wohl ein Tippfehler. Es muß [mm]\[2*arg(z)\ne \pm \pi\][/mm] heißen.
> oder? Und dann wird es
> erst richtig seltsam.
>
Aus [mm]\[2*arg(z)\ne \pm \pi\][/mm] folgt [mm] $z^2\in\IC^-$, [/mm] und [mm] $\IC^-$, [/mm] die "geschlitzte" [mm] $\IC$-Ebene, [/mm] ist der Definitionsbereich des Hauptzweigs des Logarithmus.
Dieser ist analyitisch, und damit auch [mm] $f\colon \IC^\star\to \IC; z\mapsto \log z^2$ [/mm] als Hintereinanderausführung analytischer Funktionen.
Gruß
Wolfgang
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