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| Aufgabe | Löse ohne Taschenrechner
[mm] log_{4}((log_{2}(x-1))=log_{16}9 [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: matheboard.de
Meine Ideen: Basis hoch Logarithmus = Numerus
Linke Seite Gleichung 1.
[mm] 4^{z}=log_{2}(x-1) [/mm] beides [mm] 2^{()}
[/mm]
[mm] 16^{z}=x-1
[/mm]
Rechte Seite Gleichung 2:
[mm] 16^{z}=9
[/mm]
beide Seiten sind Gleich [mm] 16^{z}
[/mm]
also setze ich
x-1=9
x=10
Sehr elegant, aber leider falsch. Richtige Lösung wäre 16.
was mache ich falsch?
AlfG
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Hallo AlfredGaebeli und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Löse ohne Taschenrechner
>
> [mm]log_{4}((log_{2}(x-1))=log_{16}9[/mm]
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: matheboard.de
> Meine Ideen: Basis hoch Logarithmus = Numerus
> Linke Seite Gleichung 1.
> [mm]4^{z}=log_{2}(x-1)[/mm]
Was muss hier denn $z$ sein?
> beides [mm]2^{()}[/mm]
> [mm]16^{z}=x-1[/mm]
>
> Rechte Seite Gleichung 2:
> [mm]16^{z}=9[/mm]
>
> beide Seiten sind Gleich [mm]16^{z}[/mm]
> also setze ich
> x-1=9
> x=10
> Sehr elegant, aber leider falsch. Richtige Lösung wäre
> 16.
> was mache ich falsch?
Einfach geht es so: Bringe die Logarithmen auf beiden Seiten auf dieselbe Basis:
Rechne zB. den Logarithmus rechterhand in die Basis des Logarithmus linkerhand um.
[mm] $\log_{16}(9)=...$ [/mm] (was mit [mm] $\log_4$)
[/mm]
Dann benutze [mm] $\log_b\left(a^m\right)=m\cdot{}\log_b(a)$
[/mm]
>
> AlfG
Gruß
schachuzipus
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Danke für den warmen Empfang :)
leider krieg ichs immer noch nicht raus :(
[mm] log_{16}9 [/mm] = [mm] \bruch{log_{4}9}{log_{4}16} (9=3^2, 16=4^2) [/mm] also
= [mm] \bruch{2log_{4}3}{4log_{4}4} (log_{4}4=1; [/mm] kürzen)
= [mm] \bruch{1}{2}log_{4}3
[/mm]
einsetzen in die Aufgabe:
[mm] log_{4}((log_{2}(x-1))=\bruch{1}{2}log_{4}3 [/mm] beides [mm] 4^{()}
[/mm]
[mm] log_{2}(x-1)= 3^{\bruch{1}{2}} [/mm] beides [mm] 2^{()}
[/mm]
x-1= [mm] 2^3^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x=\wurzel{8}+1
[/mm]
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habe mich verrechnet, sehe ich gerade.
[mm] log_{16}9 [/mm] = [mm] log_{4}3
[/mm]
dh.
[mm] log_{4}((log_{2}(x-1))=log_{4}3 4^{()}; 2^{()}
[/mm]
x-1 = 8
x = 9
x sollte aber 16 sein :( gemäss den Lsg. meines Buches
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moin Alfred,
Setz mal die Lösung $x=9$ in die Gleichung ein.
Wenn du ein wenig auflöst steht dann da:
[mm] $log_4 [/mm] 3 = [mm] log_{16} [/mm] 9$, was du ja bereits als richtig erkannt hast.
Somit stimmt deine Lösung.
Guck also nochmal nach, ob du vielleicht die Aufgabe falsch abgeschrieben hast.
Ansonsten sind auch Lösungsbücher nicht unfehlbar.
lg
Schadow
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Hast recht Shadowmaster.
Beide Lösungen waren korrekt.
Danke herzlich für deinen Hinweis!
Grüss
AlfG
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