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| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob Logarithmen aus negativen reellen Zahlen existieren! |
Erstmal hi! ^.^
Also...ich habe die Aufgabenstellung folgender Maßen umformuliert: Existiert eine komplexe Zahl q= ln(-x) mit [mm] x\in\IR [/mm] und x<0 ohne mit ihrer Existenz Widersprüche zu bringen?( es wird der Einfachheit halber o.B.d.A von der Basis e ausgegangen)
Die Antwort scheint trivial: Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen und somit existiert q.
Wenn man aber versucht q zu berechnen stößt man auf Widersprüche.
Es ist ln(-x)=ln(x*(-1))=ln(x)+ln(-1)
Aufgrund der Eulerschen Identität
[mm] e^{i*\pi}=-1 [/mm] ist dann
[mm] ln(-x)=ln(x)+ln(e)*i*\pi=ln(x)+i*\pi [/mm] . Soweit so gut. Die Formel lässt sich über ihre Herleitung mittels Taylorpolynomen beweisen...sie ist also eindeutig richtig. Nun kommt der Widerspruch:
Sei nun ln(x) zu bestimmen.
[mm] ln(x)=ln(x*(-1)(-1))=ln(x)+2\pi*i=ln(x*e^{2i*\pi}).
[/mm]
Darauß folgt
[mm] x=x*e^{2i*\pi} [/mm] und damit
[mm] 1=e^{2i*\pi} [/mm] also
[mm] ln(1)=ln(e^{2i*\pi}) [/mm] und weiter
[mm] 0=2i*\pi [/mm] . Dies führt zu den Widersprüchen
2=0
i=0 und
[mm] \pi=0 [/mm] .
Ist die Formel falsch oder gelten einfach nur die Rechenregeln für Logarithmen bei Logarithmen aus negativen Zahlen nicht mehr?
Im voraus danke für die Antworten.....
mfg
luke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 08.09.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo auch,
> Untersuchen Sie, ob Logarithmen aus negativen reellen
> Zahlen existieren!
> Erstmal hi! ^.^
> Also...ich habe die Aufgabenstellung folgender Maßen
> umformuliert: Existiert eine komplexe Zahl q= ln(-x) mit
> [mm]x\in\IR[/mm] und x<0 ohne mit ihrer Existenz Widersprüche zu
> bringen?( es wird der Einfachheit halber o.B.d.A von der
> Basis e ausgegangen)
...wenn x<0, dann ist (-x) ja wieder >0 und somit gibt es auch ln(-x).
Ist wohl ein Tippfehler, es ist sicher x>0 gemeint.
> Die Antwort scheint trivial: Die komplexen Zahlen sind
> algebraisch abgeschlossen und somit existiert q.
"Algebraisch abgeschlossen" bedeutet (zum Beispiel), dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Damit ist aber noch gar nichts über transzendente Funktionen wie ln oder exp gesagt.
> Wenn man aber versucht q zu berechnen stößt man auf
> Widersprüche.
> Es ist ln(-x)=ln(x*(-1))=ln(x)+ln(-1)
> Aufgrund der Eulerschen Identität
> [mm]e^{i*\pi}=-1[/mm] ist dann
> [mm]ln(-x)=ln(x)+ln(e)*i*\pi=ln(x)+i*\pi[/mm] . Soweit so gut. Die
> Formel lässt sich über ihre Herleitung mittels
> Taylorpolynomen beweisen...sie ist also eindeutig richtig.
Ist sie auch. Wenn man jetzt aber bedenkt, dass auch [mm] $e^{3\pi i}=-1$ [/mm] ist, ist das nicht unbedingt die einzige Lösung.
> Nun kommt der Widerspruch:
> Sei nun ln(x) zu bestimmen.
> [mm]ln(x)=ln(x*(-1)(-1))=ln(x)+2\pi*i=ln(x*e^{2i*\pi}).[/mm]
> Darauß folgt
> [mm]x=x*e^{2i*\pi}[/mm]
Warum soll das folgen? Hast Du schon gezeigt, dass die Logarithmusfunktion auf [mm] \IC [/mm] umkehrbar ist?
Auf den reellen Zahlen kann man den Logarithmus ja einfach als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definieren, auf [mm] \IC [/mm] ist das allerdings nicht mehr so leicht möglich, da die Exponentialfunktion dort ja periodisch mit Periode [mm] $2\pi [/mm] i$ ist und somit nicht mehr umkehrbar.
> und damit
> [mm]1=e^{2i*\pi}[/mm] also
> [mm]ln(1)=ln(e^{2i*\pi})[/mm] und weiter
> [mm]0=2i*\pi[/mm] . Dies führt zu den Widersprüchen
> 2=0
> i=0 und
> [mm]\pi=0[/mm] .
Es gibt hier nur einen Widerspruch: 2=0 oder i=0 oder [mm] $\pi=0$.
[/mm]
> Ist die Formel falsch oder gelten einfach nur die
> Rechenregeln für Logarithmen bei Logarithmen aus negativen
> Zahlen nicht mehr?
> Im voraus danke für die Antworten.....
> mfg
> luke
Fazit: die Formeln sind so weit schon richtig, allerdings ist eine Logarithmusfunktion auf [mm] \IC [/mm] nicht einfach durch lnx = u <=> [mm] e^u=x [/mm] zu definieren, da dies nicht eindeutig ist. Es müssen also weitere Annahmen getroffen werden - und dann klappt auch Dein Widerspruchsbeweis nicht mehr.
Gruß
piet
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Also wäre es sinnvoller Eindeutigkeit herzustellen, indem man einen Bereich in C definiert, in dem wirklich nur eine Lösung existiert oder?
Man würde also nur eine von unendlich vielen Lösungen erhalten...könnte man nun unter Verwendung der Minimalperiode jede weiter Lösung berechnen?
mfg
luke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 08.09.2008 | | Autor: | piet.t |
> Also wäre es sinnvoller Eindeutigkeit herzustellen, indem
> man einen Bereich in C definiert, in dem wirklich nur eine
> Lösung existiert oder?
Ja, wenn man eine Logarithmusfunktion definieren will muss man einen solchen Bereich festlegen. Weil der aber nach belieben hin- und hergeschoben werden kann können dabei auch beliebig viele verschiedene, aber trotzdem "richtige" Logarithmusfunktionen herauskommen (siehe auch den ![[]](/images/popup.gif) wikipedia-Eintrag zum komplexen Logarithmus).
> Man würde also nur eine von unendlich vielen Lösungen
> erhalten...könnte man nun unter Verwendung der
> Minimalperiode jede weiter Lösung berechnen?
> mfg
> luke
Wenn einem eine Lösung nicht genug ist, kann man das gerne tun. Im wesentlichen unterscheiden sich die Lösungen ja nur um ein vielfaches von [mm] $2\pi [/mm] i$ - weswegen Du bei deinem Vergleich ja auch auf [mm] $0=2\pi [/mm] i$ gekommen bist - du hast also Logarithmen aus zwei verschiedenen "Zweigen" miteinander verglichen, daher der Widerspruch.
Gruß
piet
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Danke für die guten und schnellen Antworten....es leuchtet mir ein....zwar würde ich gerne mehr über komplexe Logarithmen wissen, aber das lässt sich wohl nicht so einfach bewerkstelligen, wie ich mir das gedacht habe.
Das Logarithmieren ist bekanntlich eine Umkerfunktion des Potenzierens...die andere Umkehrfunktion ist, wie jeder weiß, das Wurzelnziehen.Nun die Frage: kann man aus komplexen Zahlen beliebige Wurteln ziehen und dabei die Form a+b*i beibehalten? (also die Polarform vermeiden)
Wenn ja: wie?
Bei Quadratwurzeln weiß ich wie man das macht...aber wie funktioniert das mit Kubikwurzeln usw.? Generell komm ich mit der Polarform nich so wirklich klar....
gruß
luke
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Hallo!
Für Wurzeln aus komplexen Zahlen solltest du wirklich die Polarform verwenden, meines Wissens gibt es keine schöne Methode, um aus a+ib eine n-te Wurzel zu ziehen, in der man nicht irgendwo die Polarform verwendet.
Wenn du die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl [mm]z=r_1e^{i\phi}[/mm] ziehen möchtest, wählst du den Ansatz: [mm]w^n=z[/mm] mit [mm]w=r_2e^{i\alpha}[/mm]. Daraus ergibt sich dann [mm]z=w^n=r_2^ne^{in\alpha}[/mm]. Daraus wiederum folgt für den Radius (also Betrag) von w: [mm]r_2=\sqrt[n]{r_1}[/mm]. Man bekommt insgesamt ja, wie du vermutlich weißt, n verschiedene Lösungen (Wurzeln), dies zeigt sich beim Winkel zwischen w und der reellen Achse: Es ist [mm]w\in\left\{\sqrt[n]{r_1}e^\frac{\phi+2k\pi}{n}\,:\,k=0,...,n-1\right\}[/mm].
Wenn du die Polarform auch nicht magst, es ist doch die einfachste Methode. Du kannst ja mit dieser Formel einmal die Lösungen der Gleichung [mm]w^n=1[/mm] suchen. Da diese alle auf dem Einheitskreis liegen, wird die Geschichte mit dem Winkel und der Polarform vielleicht eher klar  Die Lösungen bilden auf dem Einheitskreis ein regelmäßiges n-Eck!
Edit: Zur Umrechnung in die Polarform: z=a+ib --> [mm]re^{i\phi}[/mm], r ist der Betrag der Zahl, also [mm]r=\sqrt{a^2+b^2}=|z|[/mm], [mm]\phi[/mm] ist der Winkel zwischen z und der x-Achse in der Gaußschen Ebene, das merke ich mir auch nicht als Formel ;) Falls z zum Beispiel im ersten Quadranten liegt (a,b>0, für entweder a oder b gleich 0 sollte der Winkel klar sein), so ist [mm]\phi=\arctan\frac{b}{a}[/mm]. Falls ich etwas vergessen haben sollte, bitte nachfragen :)
Gruß
Johannes
(Mein erster wirklicher Beitrag hier, ich hoffe, ich hab nicht allzuviel falsch gedrückt/geschrieben/whatever) :)
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Wie ich Wurzeln ziehe, wenn ich die Polarform habe ist klar. Nur habe ich meine Probleme mit der Polarform....ich bekomm es aus irgendeinem Grund nie hin eine komplexe Zahl der Form a+ib in die Polarform zu bringen. Könntest du mir das vllt erläutern? Wäre wirklich nett.....
mfg
luke
PS: danke für die antwort.
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Hm, ja, ich kann's ja mal versuchen!
Also, du hast eine Zahl [mm]z=a+ib[/mm] gegeben, und willst sie in Polarform bringen (ob das jetzt [mm]r\cdot e^{i\phi}[/mm] oder [mm]r(\cos\phi+i\sin\phi)[/mm] ist, spielt ja keine Rolle, es kommen ja nur r und [mm]\phi[/mm] vor).
Die Zahl r (für Radius) funktioniert immer gleich einfach: [mm]r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/mm], das ist eine einfache Anwendung des Satzes von Pythagoras in der Gaußschen Zahlenebene (was das ist, weißt du? Das hilft der Anschauung nämlich enorm).
Jetzt geht es um den Winkel [mm]\phi[/mm], wir möchten möglichst Werte aus dem halboffenen Intervall [mm](-\pi,\pi][/mm] haben. Hier müssen wir ein paar Fälle unterscheiden (die Fälle a=0 oder b=0 lasse ich mal weg, das ist ja genau dann, wenn die Zahl auf der imaginären bzw. reellen Achse liegt, von daher ist der Winkel dann ein simples Vielfaches von [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]).
Nehmen wir also mal an, z liegt rechts der imaginären Achse, d.h. a>0, b beliebig. Dann gilt [mm]\tan\phi=\frac{b}{a}[/mm] (b/a gibt ja die "Steigung" von z wieder, das ist aber genau der Tangens des Steigungswinkels). Damit kann man in diesem Fall dann [mm]\phi=\arctan\frac{b}{a}[/mm] ausrechnen.
Jetzt schauen wir uns den 2. Quadranten an, also a<0, b>=0: Wenn wir hier [mm]\frac{b}{a}[/mm] berechnen, gibt uns das zwar auch die Steigung an, jedoch liefert der Arkustangens hier einen negativen Winkel (wenn du deine komplexe Zahl am Nullpunkt spiegelst, hat ihr Spiegelbild ja die gleiche Steigung, und diese ist ja mit Fall 1 abgehandelt. Der Arkustangens kann ja selbst nicht entscheiden, welchen Winkel der 2 man denn nun haben möchte, er liefert immer nur Winkel aus dem Intervall [mm](-\pi/2,+\pi/2)[/mm]). Wir möchten im 2. Quadranten aber einen Winkel zwischen [mm]\pi/2[/mm] und [mm]\pi[/mm] haben, umgehen das also und addieren einfach noch ein [mm]\pi[/mm], also 180°, worauf wir wieder im gewünschten Bereich sind. Es ergibt sich [mm]\phi=\arctan\frac{b}{a}+\pi[/mm].
Der letzte (wichtige) Fall ist a<0, b<0, also der 4. Quadrant. Analog zum Fall darüber erhalten wir wieder einen "falschen", also nicht gewünschten, Winkel, müssen nun aber einmal [mm]\pi[/mm] abziehen, um wieder im gewünschten Bereich zu sein ==> [mm]\phi=\arctan{b}{a}-\pi[/mm].
Ich hoffe, du konntest mit dieser nicht immer gut formulierten Erklärung etwas anfangen  Das hat sich jetzt vielleicht etwas kompliziert angehört, um das ein bisschen zu entkräften, kann ich dir ja mal sagen, wie ich das mache:
Wenn entweder a oder b (oder beide) 0 sind, ist es ja nicht schwer, den passenden Winkel zu finden ;) Ansonsten sieht man ja an der Form a+ib schon, in welchem Quadranten die Zahl liegt. Ich reche also [mm]\arctan{b}{a}[/mm] einfach aus, ohne groß über Fallunterscheidungen nachzudenken, und addiere/subtrahiere ein [mm]\pi[/mm], falls der Winkel nicht passen sollte. Wenn man den Quadranten kennt, weiß man ja auch, in welchem Bereich der Winkel liegen sollte.
Gruß
Johannes
PS: Ich will dir nicht vorenthalten, dass man das Problem auch über den Kosinus angehen kann, da hat man dann nicht so viele Fallunterscheidungen, ich mag das aber persönlich nicht so!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mi 10.09.2008 | | Autor: | luke314159 |
OK ich hab´s verstanden...danke schön xD
Ich werd mich mal an einer Herleitung über den Kosinus versuchen...kann ja nich so schwer sein. Man hat ja immer ein "Dreieck" gegeben.
Ich danke vielmals für die schnellen,guten und umfangreichen Antworten.
gruß
luke
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